Calcul trigonométrique TC
Table des matières
Le cercle trigonométrique
Définition
Dans un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre).
Mesure d’un angle en radians
Définition
Sur le cercle trigonométrique, on enroule la droite réelle. À chaque nombre réel \(x\in\mathbb{R}\), on associe un unique point \(M\) du cercle tel que la longueur de l’arc \(\widehat{IM}\) (compté dans le sens direct) soit \(|x|\) (avec \(x>0\) correspondant au sens direct, \(x<0\) au sens indirect).
\(x\) est appelé mesure en radians de l’angle \(\widehat{(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})}\).
Conversion degrés \(\leftrightarrow\) radians.
Un angle de \(180^{\circ}\) correspond à un angle de \(\pi\) radians.
La relation de conversion est :
\[\dfrac{\alpha\ (\text{en radians})}{\pi}=\dfrac{\alpha\ (\text{en degrés})}{180}.\]
Exemple
Quelques conversions usuelles :
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{degrés} & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 & 270 & 360 \\ \hline \text{radians} & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline \end{array}\]
Exercice n°1
Convertir en radians : \(15^{\circ}\), \(120^{\circ}\), \(225^{\circ}\), \(-150^{\circ}\).
Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{5}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{4}\), \(-\dfrac{\pi}{6}\).
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définition
Soit \(x\in\mathbb{R}\), et soit \(M\) le point du cercle trigonométrique associé à \(x\).
Les coordonnées de \(M\) dans le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) sont notées \((\cos x\,;\sin x)\) :
-
\(\cos x\) est l’abscisse de \(M\).
-
\(\sin x\) est l’ordonnée de \(M\).
Pour tout réel \(x\) :
-
\(-1\leq \cos x\leq 1\) et \(-1\leq \sin x\leq 1\).
-
\(\cos^{2}x+\sin^{2}x=1\).
-
\(\cos(x+2\pi)=\cos x\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) : les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont périodiques de période \(2\pi\).
Valeurs remarquables
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline \cos x & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \hline \sin x & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \end{array}\]
La fonction tangente
Définition
Soit \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(\cos x\neq 0\), c’est-à-dire \(x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
La tangente de \(x\), notée \(\tan x\), est définie par :
\[\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.\]
-
\(\tan(x+\pi)=\tan x\) : la fonction tangente est périodique de période \(\pi\).
-
\(\tan(-x)=-\tan x\) : la fonction tangente est impaire.
Exemple
Valeurs remarquables de la tangente :
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline \tan x & 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{non définie} \\ \hline \end{array}\]
Formules trigonométriques
Angles opposés. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[\cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \tan(-x)=-\tan x.\]
La fonction \(\cos\) est paire ; les fonctions \(\sin\) et \(\tan\) sont impaires.
Angles supplémentaires. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.\]
Angles décalés de \(\pi\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[\cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x.\]
Angles complémentaires. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.\]
Angles décalés de \(\dfrac{\pi}{2}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x.\]
Exemple
Calculer \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\).
On écrit \(\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}\), donc :
\[\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]
\[\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.\]
Exercice n°2
Calculer (sans calculatrice) :
\[\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right),\quad \sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right),\quad \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right),\quad \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right),\quad \tan\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right).\]
Exercice n°3
Simplifier les expressions suivantes pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[A=\cos(\pi-x)+\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi+x),\]
\[B=\sin(\pi-x)\cos(-x)+\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x).\]
Équations trigonométriques fondamentales
Théorème
Soient \(\alpha\in\mathbb{R}\) et \(x\in\mathbb{R}\).
-
\(\cos x=\cos\alpha\ \iff\ x=\alpha+2k\pi\) ou \(\ x=-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
-
\(\sin x=\sin\alpha\ \iff\ x=\alpha+2k\pi\) ou \(\ x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
-
\(\tan x=\tan\alpha\ \iff\ x=\alpha+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\), avec \(\cos x\neq 0\)).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x=\dfrac{1}{2}\).
On sait que \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\). Donc :
\[\cos x=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\iff x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.\]
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
On a \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Donc :
\[\sin x=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\iff x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\pi+\dfrac{\pi}{4}+2k\pi=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.\]
Exercice n°4
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\[(a)\ 2\cos x-\sqrt{3}=0;\quad (b)\ \sin\!\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2};\quad (c)\ \tan x=1.\]