Série d’exercices

Convertir en radians chacun des angles suivants :
\[30^{\circ},\quad 45^{\circ},\quad 75^{\circ},\quad 135^{\circ},\quad 210^{\circ},\quad -240^{\circ}.\]
Convertir en degrés chacun des angles suivants :
\[\dfrac{\pi}{8},\quad \dfrac{2\pi}{5},\quad \dfrac{7\pi}{6},\quad \dfrac{11\pi}{4},\quad -\dfrac{5\pi}{12}.\]

Calculer (sans calculatrice) :

1. \(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\)

2. \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\)

3. \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) et \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

4. \(\cos\!\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)\)

5. \(\tan\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\) et \(\tan\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Soit \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(\cos x=\dfrac{3}{5}\) et \(x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[\).

1. Calculer \(\sin x\).

2. En déduire \(\tan x\).

Simplifier les expressions suivantes pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[\begin{align*} A(x)&=\cos(\pi-x)+\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi+x), \\[4pt] B(x)&=\sin(\pi-x)\cos(-x)+\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x), \\[4pt] C(x)&=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\cos(-x). \end{align*}\]

Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :

1. \(\cos^{4}x-\sin^{4}x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\).

2. \((\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}=2\).

3. \(\dfrac{1-\cos^{2}x}{1+\cos x}=1-\cos x\) (si \(\cos x\neq -1\)).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(2\cos x-\sqrt{3}=0\)

2. \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\)

3. \(\sin\!\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

4. \(\cos\!\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2}\)

5. \(\tan x=-\sqrt{3}\)

Résoudre dans l’intervalle \([0\,;2\pi]\) les équations suivantes :

1. \(2\sin x-1=0\)

2. \(\sqrt{2}\,\cos x+1=0\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(2x)\).

1. Étudier la parité de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est périodique et préciser sa période.

3. Calculer \(f(0)\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\), \(f\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\), \(f(\pi)\).

On donne \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

1. En remarquant que \(\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}\), calculer \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

2. En remarquant que \(\dfrac{11\pi}{12}=\pi-\dfrac{\pi}{12}\), calculer \(\cos\!\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)\).

3. Calculer \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\).

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=3\) et \(AC=4\).
On note \(\widehat{ABC}=\alpha\) (angle aigu en \(B\), exprimé en radians).

1. Calculer \(BC\).

2. En déduire \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) et \(\tan\alpha\).

3. Vérifier que \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\).