Série d’exercices

Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) :
\[3\ \cdots\ \mathbb{N} \,;\quad -5\ \cdots\ \mathbb{N} \,;\quad -5\ \cdots\ \mathbb{Z} \,;\quad \dfrac{1}{3}\ \cdots\ \mathbb{D} \,;\quad \dfrac{2}{5}\ \cdots\ \mathbb{Q} \,;\quad \sqrt{2}\ \cdots\ \mathbb{Q} \,;\quad \pi\ \cdots\ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\]

Pour chacun des nombres suivants, donner le plus petit ensemble parmi \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) auquel il appartient :
\[a=7\,;\quad b=-12\,;\quad c=\dfrac{9}{4}\,;\quad d=\dfrac{2}{7}\,;\quad e=\sqrt{16}\,;\quad f=\sqrt{18}\,;\quad g=\pi+1.\]

Développer et réduire les expressions suivantes :

1. \(A=(x+5)^{2}-(x-3)^{2}\)

2. \(B=(2x-3)(2x+3)+(x+1)^{2}\)

3. \(C=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\)

4. \(D=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}\)

Factoriser les expressions suivantes :

1. \(A=x^{2}-9\)

2. \(B=4x^{2}-25y^{2}\)

3. \(C=x^{2}+6x+9\)

4. \(D=x^{3}-8\)

5. \(E=x^{3}+27\)

Simplifier les expressions suivantes :

1. \(A=\sqrt{72}+\sqrt{50}-\sqrt{18}\)

2. \(B=\sqrt{27}\times\sqrt{12}\)

3. \(C=\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}\)

4. \(D=\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}\)

Rationaliser le dénominateur de chacune des fractions suivantes :
\[\dfrac{1}{\sqrt{3}},\qquad \dfrac{2}{\sqrt{5}-1},\qquad \dfrac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\qquad \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}.\]

Calculer en utilisant les propriétés des puissances :
\[A=2^{5}\times 2^{-3},\quad B=\dfrac{3^{8}}{3^{5}},\quad C=(2^{3})^{4},\quad D=\dfrac{10^{6}\times 10^{-3}}{10^{2}},\quad E=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}.\]

Démontrer que \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
(Raisonnement par l’absurde, sur le modèle de la démonstration de l’irrationnalité de \(\sqrt{2}\).)

1. Montrer que le nombre \(a=0{,}25\) est décimal.

2. Montrer que le nombre \(b=0{,}\overline{36}=0{,}363636\ldots\) est rationnel mais non décimal.
   Indication : poser \(b=0{,}\overline{36}\), multiplier par \(100\), soustraire.

3. Donner l’écriture fractionnaire de \(c=0{,}\overline{142}\).

Soient \(a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) et \(b=\sqrt{2}-\sqrt{3}\).

1. Calculer \(a+b\), \(a-b\), \(a\times b\).

2. En déduire \(a^{2}+b^{2}\).

3. Calculer \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\).