Ensembles de nombres
Table des matières
Les ensembles de nombres
Définition
On distingue plusieurs ensembles de nombres :
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\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}\) : ensemble des entiers naturels.
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\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\) : ensemble des entiers relatifs.
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\(\mathbb{D}\) : ensemble des nombres décimaux, qui s’écrivent sous la forme \(\dfrac{a}{10^{n}}\), avec \(a\in\mathbb{Z}\) et \(n\in\mathbb{N}\).
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\(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels, qui s’écrivent sous la forme \(\dfrac{a}{b}\), avec \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b\in\mathbb{Z}^{*}\).
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\(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels.
On a la chaîne d’inclusions suivante :
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.\]
Exemple
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\(3 \in \mathbb{N}\)
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\(\ -2 \in \mathbb{Z}\)
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\(-2\notin\mathbb{N}\)
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\(\ \dfrac{3}{4}=0{,}75 \in \mathbb{D}\)
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\(\ \dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}\)
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\(\dfrac{1}{3}\notin\mathbb{D}\).
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\(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\)
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\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
Notations particulières
Remarque
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\(\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\setminus\{0\}=\{1,2,3,\ldots\}\), \(\ \mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\), etc.
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\(\mathbb{Z}_{-}=\{\ldots,-3,-2,-1,0\}\) : entiers négatifs ou nuls.
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\(\mathbb{R}_{+}=[0\,;+\infty[\), \(\mathbb{R}_{-}=]-\infty\,;0]\).
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\(\mathbb{R}^{*}_{+}=]0\,;+\infty[\), \(\mathbb{R}^{*}_{-}=]-\infty\,;0[\).
Nombres rationnels et irrationnels
Définition
Un nombre réel est dit irrationnel s’il n’est pas rationnel, c’est-à-dire s’il ne peut pas s’écrire sous la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b\in\mathbb{Z}^{*}\).
On note \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) l’ensemble des nombres irrationnels.
Exemple
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), \(\sqrt{2}+1\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
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Un nombre est décimal ssi son écriture décimale est finie.
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Un nombre est rationnel ssi son écriture décimale est finie ou périodique à partir d’un certain rang.
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Un nombre est irrationnel ssi son écriture décimale est infinie et non périodique.
Exemple
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\(\dfrac{1}{4}=0{,}25\) : décimal.
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\(\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots=0{,}\overline{3}\) : rationnel mais non décimal.
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\(\dfrac{1}{7}=0{,}\overline{142857}\) : rationnel non décimal.
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\(\sqrt{2}=1{,}41421356\ldots\) : irrationnel.
Opérations dans \(\mathbb{R}\)
Pour tous réels \(a\), \(b\), \(c\) :
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Commutativité : \(a+b=b+a\) et \(a\times b=b\times a\).
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Associativité : \((a+b)+c=a+(b+c)\) et \((a\times b)\times c=a\times(b\times c)\).
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Élément neutre : \(a+0=a\) et \(a\times 1=a\).
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Distributivité : \(a\times(b+c)=a\times b+a\times c\).
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Opposé : tout \(a\in\mathbb{R}\) admet un opposé \(-a\) tel que \(a+(-a)=0\).
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Inverse : tout \(a\in\mathbb{R}^{*}\) admet un inverse \(\dfrac{1}{a}\) tel que \(a\times\dfrac{1}{a}=1\).
Identités remarquables
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
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\((a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}\)
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\((a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}\)
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\((a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}\)
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\((a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
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\((a-b)^{3} = a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)
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\(a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\)
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\(a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
Exemple
Développer \((x+3)^{2}\) et factoriser \(x^{2}-25\).
Puissances entières
Définition
Pour tout \(a\in\mathbb{R}\) et tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\) :
\[a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}},\qquad a^{0}=1\ (a\neq 0),\qquad a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\ (a\neq 0).\]
Pour tous réels \(a,b\neq 0\) et tous entiers relatifs \(m,n\) :
\[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n},\qquad \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad (ab)^{n}=a^{n}b^{n},\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}.\]
Exemple
\(2^{3}\times 2^{5}=2^{8}=256\) ; \(\dfrac{3^{7}}{3^{4}}=3^{3}=27\) ; \((2^{3})^{2}=2^{6}=64\).
Racines carrées
Définition
Pour tout réel \(a\geq 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l’unique réel positif dont le carré vaut \(a\).
Pour tous réels \(a,b\geq 0\) et \(b\neq 0\) pour le quotient :
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\(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\)
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\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
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\((\sqrt{a})^{2}=a\)
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\(\sqrt{a^{2}}=|a|\)
Exemple
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\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}\).
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\(\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}\).
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\(\sqrt{(-3)^{2}}=|-3|=3\).
Exercice n°1
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Simplifier les expressions suivantes :
\(A=\sqrt{48}+\sqrt{75}-\sqrt{12},\qquad B=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}),\qquad C=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}\)
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Soient \(a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) et \(b=\sqrt{2}-\sqrt{3}\). Calculer \(a+b\), \(a-b\), \(a\times b\), \(a^{2}+b^{2}\).
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Le nombre \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) est-il rationnel ? Justifier.