Cours 2ème Bac

Nombres complexes

15 min de lecture · Les nombres complexes
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Table des matières
  1. Forme algébrique d’un nombre complexe
    1. Égalité et opérations dans \(\mathbb{C}\)
  2. Représentation géométrique
    1. Alignement et cocyclicité
  3. Conjugué d’un nombre complexe
  4. Module et lieux géométriques
  5. Forme trigonométrique
    1. Argument
    2. Forme trigonométrique
    3. Angles orientés
  6. Forme exponentielle
    1. Formules de De Moivre et d’Euler
  7. Tableau récapitulatif des trois formes
  8. Équations du second degré à coefficients réels
  9. Transformations complexes du plan
    1. Tableau récapitulatif

Forme algébrique d’un nombre complexe

Proposition

Il existe un ensemble noté \(\mathbb{C}\), appelé ensemble des nombres complexes, qui contient \(\mathbb{R}\) et vérifie :

  • \(\mathbb{C}\) contient un élément \(i\) tel que \(i^2 = -1\).

  • Tout \(z \in \mathbb{C}\) s’écrit de façon unique sous la forme \(z = a + ib\), avec \(a, b \in \mathbb{R}\).

Définition

Soit \(z = a + ib\), \(a, b \in \mathbb{R}\).

  • Cette écriture est appelée forme algébrique de \(z\).

  • \(a = \mathrm{Re}(z)\) : partie réelle de \(z\).

  • \(b = \mathrm{Im}(z)\) : partie imaginaire de \(z\).

  • Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), \(z\) est dit imaginaire pur, et l’ensemble des imaginaires purs est noté \(i\mathbb{R}\).

Exemple

« Lecture des parties réelle et imaginaire. »
Soit \(z_1 = 5 + 7i\), \(z_2 = 1 - i\), \(z_3 = 5\), \(z_4 = 3i\).

  • \(\mathrm{Re}(z_1) = 5\), \(\mathrm{Im}(z_1) = 7\).

  • \(\mathrm{Re}(z_2) = 1\), \(\mathrm{Im}(z_2) = -1\).

  • \(z_3 \in \mathbb{R}\) : \(\mathrm{Re}(z_3) = 5\), \(\mathrm{Im}(z_3) = 0\).

  • \(z_4 \in i\mathbb{R}\) : \(\mathrm{Re}(z_4) = 0\), \(\mathrm{Im}(z_4) = 3\).

Égalité et opérations dans \(\mathbb{C}\)

Proposition

Soient \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\).

  • \(z = z' \Longleftrightarrow a = a' \text{ et } b = b'\).

  • \(z = 0 \Longleftrightarrow a = 0 \text{ et } b = 0\).

Proposition

Soient \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\).

  • \(z + z' = (a + a') + i(b + b')\).

  • \(z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)\).

  • \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{a - ib}{a^2 + b^2}\) si \(z \neq 0\).

Exemple

« Opérations en forme algébrique. »
Mettre \(z = \dfrac{1+i}{1-i}\) sous forme algébrique.

Solution. On multiplie par le conjugué \(1 + i\) :
\[z = \dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{(1+i)^2}{1^2 + 1^2} = \dfrac{1 + 2i + i^2}{2} = \dfrac{2i}{2} = i.\]

Application

Mettre sous forme algébrique :

  • \(z_1 = (2+3i)(-1+i)\)

  • \(z_2 = (1+\sqrt{3}\,i)(1-\sqrt{3}\,i)\)

  • \(z_3 = -\dfrac{1}{4i}\)

  • \(z_4 = \dfrac{1}{2+3i} + (2+i)^2\)

  • \(z_5 = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{14}\)

  • \(z_6 = (3-2i)^2 - (3+2i)^2\)

Remarque

Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) : \(z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \mathrm{Im}(z) = 0\) et \(z \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \mathrm{Re}(z) = 0\).

À faire à la maison

  1. Mettre sous forme algébrique : (a) \(z = \dfrac{(2+i)^3}{1 - i}\) ;(b) \(z = \dfrac{1}{(1+i)^{10}}\).

  2. Soit \(z = (3 + i)^2 - (1 - 2i)^2\). Calculer \(\mathrm{Re}(z)\) et \(\mathrm{Im}(z)\).

  3. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \((2 + i)a + (3 - 2i)b = 1 + 4i\).

  4. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : (a) \(iZ - 1 = Z + 3i\) ;(b) \(\dfrac{Z + i}{Z - i} = i\).

Représentation géométrique

Le plan \((\mathcal{P})\) est muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{e_1}\,;\vec{e_2})\).

Définition

  • À tout \(z = x + iy\) on associe le point image \(M(x\,;y)\), noté \(M(z)\). Réciproquement, \(z\) est l’affixe de \(M\), notée \(z = \mathrm{aff}(M)\).

  • Le vecteur \(\vec{u}(x\,;y)\) est appelé vecteur image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(\vec{u}\), notée \(\mathrm{aff}(\vec{u})\).

Proposition

Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) deux points du plan complexe.

  • \(\mathrm{aff}(\overrightarrow{AB}) = z_B - z_A\).

  • Affixe du milieu \(I\) de \([AB]\) : \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}\).

Exemple

« Affixe d’un parallélogramme. »
\(A(2i)\), \(B(1-i)\), \(C(3)\). Trouver \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

Solution. \(ABCD\) parallélogramme \(\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Longleftrightarrow z_B - z_A = z_C - z_D\), donc \(z_D = z_C - z_B + z_A = 3 - (1-i) + 2i = 2 + 3i\).

Application

Soient \(A(2i)\), \(B(1-i)\), \(C(3)\).

  1. Calculer les affixes de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\).

  2. Déterminer le centre \(I\) du parallélogramme \(ABCD\).

Alignement et cocyclicité

Proposition

Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) trois points du plan complexe deux à deux distincts.
\[A,\,B,\,C \text{ alignés } \Longleftrightarrow \dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A} \in \mathbb{R}.\]

Proposition

Soient \(A, B, C, D\) quatre points deux à deux distincts et trois à trois non alignés du plan complexe.
\[A,\,B,\,C,\,D \text{ cocycliques } \Longleftrightarrow \dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_B} \times \dfrac{z_C - z_D}{z_A - z_D} \in \mathbb{R}.\]

Application

  1. Montrer que \(A(4\,;-6)\), \(B(-2\,;3)\), \(C(-1\,;\tfrac{3}{2})\) sont alignés.

  2. Montrer que \(A(1+i)\), \(B(3+i)\), \(C(2+2i)\), \(D(2)\) sont cocycliques.

À faire à la maison

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{e_1}\,;\vec{e_2})\), on considère les points \(A(2 + i)\), \(B(-1 + 3i)\), \(C(-3 - i)\).

  1. Calculer les affixes de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).

  2. Soit \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme. Déterminer \(z_D\).

  3. Soit \(M\) le milieu de \([AC]\) et \(M'\) le milieu de \([BD]\). Vérifier que \(M = M'\) et interpréter.

  4. Déterminer l’ensemble des points \(P\) d’affixe \(z\) tels que \(A\), \(B\), \(P\) soient alignés.

Conjugué d’un nombre complexe

Définition

Soit \(z = a + ib\). Le conjugué de \(z\) est \(\overline{z} = a - ib\). Géométriquement, \(M(\overline{z})\) est le symétrique de \(M(z)\) par rapport à l’axe des réels.

Proposition

Soient \(z, z' \in \mathbb{C}\) et \(n \in \mathbb{N}\).

  • \(\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}\)

  • \(\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}\)

  • \(\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}\) (\(z' \neq 0\))

  • \(\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}\)

  • \(\overline{\overline{z}} = z\)

  • \(z + \overline{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)\)

  • \(z - \overline{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)\)

  • \(z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \overline{z} = z\)

  • \(z \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \overline{z} = -z\)

Exemple

« Utilisation du conjugué. »
Soient \(u = \dfrac{2+3i}{3+2i}\) et \(v = \dfrac{2-3i}{3-2i}\). Montrer, sans calcul direct, que \(u + v \in \mathbb{R}\) et \(u - v \in i\mathbb{R}\).

Solution. On observe \(v = \overline{u}\). Donc \(u + v = u + \overline{u} = 2\,\mathrm{Re}(u) \in \mathbb{R}\), et \(u - v = u - \overline{u} = 2i\,\mathrm{Im}(u) \in i\mathbb{R}\).

Application

Soit \(z = x + iy\), \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).

  1. Mettre \(3iz - \overline{z}\) sous forme algébrique.

  2. Résoudre \(3iz - \overline{z} = 8i\).

  3. Trouver les \(z\) tels que \(3iz - \overline{z}\) soit imaginaire pur.

À faire à la maison

  1. Soit \(z = x + iy\) avec \(x, y \in \mathbb{R}\). Déterminer la forme algébrique de \(3iz - \overline{z}\).

  2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(3iz - \overline{z} = 8i\).

  3. Déterminer l’ensemble des \(z \in \mathbb{C}\) tels que \(3iz - \overline{z}\) soit imaginaire pur.

  4. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(\dfrac{4z - 2}{z + 1} = -3 + i\).

Module et lieux géométriques

Définition

Soit \(z = x + iy\). Le module de \(z\) est le réel positif :
\[|z| = \sqrt{z\,\overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}.\]
Géométriquement, si \(M(z)\) : \(|z| = OM\).

Proposition

Soient \(z, z' \in \mathbb{C}^*\) et \(n \in \mathbb{N}\).

  • \(|z| = |-z| = |\overline{z}|\)

  • \(|z\,z'| = |z| \cdot |z'|\)

  • \(\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}\)

  • \(|z^n| = |z|^n\)

  • \(|z + z'| \leq |z| + |z'|\) (inégalité triangulaire)

Proposition

Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) deux points du plan complexe.
\[AB = |z_B - z_A|.\]

Exemple

« Lieu géométrique. »
Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z - (2-i)| = 4\).

Solution. Si \(A(2-i)\), alors \(|z - z_A| = AM\). L’équation \(AM = 4\) définit le cercle de centre \(A(2\,;-1)\) et de rayon \(4\).

Application

Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que :

  • \(|z - (2-i)| = |z - 4i|\)

  • \(|z + i| = |z - (1-i)|\)

  • \(|iz - 2| = |z + 1 - i|\)

  • \(|iz| = |\overline{z} + 1 - i|\)

À faire à la maison

  1. Soient \(z_1 = 1 + i\) et \(z_2 = 1 - i\sqrt{3}\). Calculer \(|z_1|\) et \(|z_2|\), puis en déduire \(|z_1 z_2|\), \(|z_1^6|\), \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|^2\).

  2. Soient \(A(-1 + 6i)\), \(B(1 + 9i)\), \(C(2 + 4i)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle.

  3. Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|iz - 2| = |z + 1 - i|\).

  4. Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|iz| = |\overline{z} + 1 - i|\).

Forme trigonométrique

Argument

Définition

Soit \(M(z)\) un point distinct de \(O\). L’argument de \(z\) est la mesure \(\theta\) de l’angle orienté \(\widehat{(\vec{e_1}, \overrightarrow{OM})}\), notée \(\arg(z) \equiv \theta \,[2\pi]\).

Proposition

Soit \(z \in \mathbb{C}^*\).

  • \(z \in \mathbb{R}_+^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv 0 \,[2\pi]\)

  • \(z \in \mathbb{R}_-^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv \pi \,[2\pi]\)

  • \(z \in i\mathbb{R}_+^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{2} \,[2\pi]\)

  • \(z \in i\mathbb{R}_-^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{2} \,[2\pi]\)

  • \(\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \,[2\pi]\)

  • \(\arg(-z) \equiv \pi + \arg(z) \,[2\pi]\)

Forme trigonométrique

Définition

Soit \(z \in \mathbb{C}^*\) de module \(r = |z|\) et d’argument \(\theta\). Alors :
\[\cos\theta = \dfrac{\mathrm{Re}(z)}{|z|}, \quad \sin\theta = \dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|},\]
et la forme trigonométrique de \(z\) est :
\[z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) = [r\,;\theta].\]

Exemple

« Mise en forme trigonométrique. »
Mettre \(z = 1 + i\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.

Solution. \(|z| = \sqrt{1 + 3} = 2\). Donc \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), d’où \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\). Ainsi :
\[z = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3}\right) = \left[2\,;\dfrac{\pi}{3}\right].\]

Proposition

Soient \(z = [r\,;\theta]\) et \(z' = [r'\,;\theta']\) deux complexes non nuls, \(n \in \mathbb{N}\).

  • \(z = z' \Longleftrightarrow r = r' \text{ et } \theta \equiv \theta'\,[2\pi]\)

  • \(z \times z' = [\,r r'\,;\,\theta + \theta'\,]\)

  • \(\dfrac{z}{z'} = \left[\dfrac{r}{r'}\,;\,\theta - \theta'\right]\)

  • \(z^n = [\,r^n\,;\,n\theta\,]\)

Application

Mettre sous forme trigonométrique :

  • \(z_1 = 1 + i\sqrt{3}\)

  • \(z_2 = 1 - i\sqrt{3}\)

  • \(z_3 = -1 - i\sqrt{3}\)

  • \(z_4 = -2\sqrt{3} + 2i\)

  • \(z_5 = 4\)

  • \(z_6 = -7\)

Angles orientés

Proposition

Soient \(A(z_A), B(z_B), C(z_C) \in \mathbb{C}^2\) deux à deux distincts.

  • \(\widehat{(\vec{e_1}, \overrightarrow{AB})} \equiv \arg(z_B - z_A) \,[2\pi]\).

  • \(\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} \equiv \arg\!\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \,[2\pi]\).

Application

\(A(2\,;2)\), \(B(2\,;-1)\), \(C(4\,;2)\), \(D(6\,;2)\).

  1. Calculer \(\widehat{(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC})}\). Conclure.

  2. Calculer \(\widehat{(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})}\). Position de \((AB)\) et \((AC)\) ?

À faire à la maison

Soient \(z_1 = 1 + i\sqrt{3}\) et \(z_2 = 1 + i\).

  1. Mettre \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.

  2. En déduire la forme trigonométrique de \(Z = \dfrac{z_1^2}{z_2}\).

  3. Mettre \(Z\) sous forme algébrique.

  4. En déduire les valeurs exactes de \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

  5. Montrer que \(Z^{12} \in \mathbb{R}\) et déterminer sa valeur.

Forme exponentielle

Définition

Soit \(z \in \mathbb{C}^*\) de module \(r\) et d’argument \(\theta\). La forme exponentielle de \(z\) est :
\[z = r\,e^{i\theta}.\]

Exemple

\(e^{i\pi} = -1\) ;\(2e^{i\frac{3\pi}{4}} = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}\).

Proposition

Soient \(r, r' > 0\), \(\theta, \theta' \in \mathbb{R}\), \(n \in \mathbb{N}\).

  • \(|e^{i\theta}| = 1\), \(\arg(e^{i\theta}) \equiv \theta\,[2\pi]\)

  • \(\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}\)

  • \(r e^{i\theta} \cdot r' e^{i\theta'} = r r'\,e^{i(\theta + \theta')}\)

  • \(\dfrac{1}{r e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}\)

  • \(\dfrac{r e^{i\theta}}{r' e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')}\)

  • \((r e^{i\theta})^n = r^n\,e^{in\theta}\)

Application

Soient \(z_1 = 1 - i\), \(z_2 = 2i\), \(z_3 = 3 + 3i\sqrt{3}\). Mettre sous forme exponentielle :
\[a = \dfrac{z_3}{z_1}, \quad b = z_1^8, \quad c = \dfrac{z_1}{z_2 z_3}.\]

Formules de De Moivre et d’Euler

Proposition

Pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) et \(\theta \in \mathbb{R}\) :
\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).\]

Proposition

Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) :
\[\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.\]

Exemple

« Linéarisation de \(\cos^2 x\). »
Linéariser \(\cos^2 x\).

Solution. Avec Euler :
\[\cos^2 x = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 = \dfrac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} = \dfrac{1}{2}\cos(2x) + \dfrac{1}{2}.\]

Application

  1. Linéariser \(\sin^2 x\) et \(\cos^3 x\).

  2. Avec De Moivre, exprimer \(\cos(2x)\) et \(\sin(2x)\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\).

À faire à la maison

  1. Linéariser \(\sin^4 x\) et \(\cos^5 x\) via les formules d’Euler.

  2. À l’aide de De Moivre, exprimer \(\cos(3x)\) et \(\sin(3x)\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\).

  3. Soit \(z = 1 + i\). Calculer \(z^{12}\) via la forme exponentielle, puis vérifier par calcul direct sur \(z^2\) et \(z^4\).

Tableau récapitulatif des trois formes

Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle
\(z = a + ib\) \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) \(z = r\,e^{i\theta}\)
\(a = \mathrm{Re}(z)\), \(b = \mathrm{Im}(z)\) \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\) \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\)
Idéale pour : addition, soustraction Idéale pour : trigonométrie Idéale pour : produits, puissances

Équations du second degré à coefficients réels

Proposition

Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\). L’équation \(az^2 + bz + c = 0\) a pour discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).

  • \(\Delta > 0\) : deux solutions réelles distinctes \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).

  • \(\Delta = 0\) : une solution réelle double \(z_0 = -\dfrac{b}{2a}\).

  • \(\Delta < 0\) : deux solutions complexes conjuguées \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

Exemple

« Cas \(\Delta < 0\). »
Résoudre \(z^2 + 2z + 4 = 0\) dans \(\mathbb{C}\).

Solution. \(\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\). Donc \(\sqrt{-\Delta} = 2\sqrt{3}\), et :
\[z_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}.\]

Application

  1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 = -4\) ;\(2z^2 - 3z + 2 = 0\).

  2. Soit \(p(z) = z^3 - 6z^2 + 12z - 16\).

    1. Trouver \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(p(z) = (z - 4)(z^2 + az + b)\).

    2. Résoudre \(p(z) = 0\) dans \(\mathbb{C}\).

À faire à la maison

Considérer dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E) : z^2 - 2(\sqrt{2} + \sqrt{6})\,z + 16 = 0\).

  1. Vérifier que \(\Delta = -4(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2\).

  2. En déduire les solutions de \((E)\).

  3. Soit \(a = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i(\sqrt{6} - \sqrt{2})\). Vérifier que \(a\) est une solution de \((E)\).

  4. Calculer \(|a|\) et déterminer \(\arg(a)\) ; en déduire que \(a = 4\!\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\).

  5. Soit \(p(z) = z^3 - 6z^2 + 12z - 16\). Trouver \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que \(p(z) = (z - 4)(z^2 + \alpha z + \beta)\), puis résoudre \(p(z) = 0\) dans \(\mathbb{C}\).

Transformations complexes du plan

Définition

Translation \(t_{\vec{u}}\) de vecteur \(\vec{u}(z_{\vec{u}})\) :
\[M(z) \mapsto M'(z') \quad\Longleftrightarrow\quad z' = z + z_{\vec{u}}.\]

Définition

Homothétie \(h\) de centre \(\Omega(z_\Omega)\), rapport \(k \in \mathbb{R}^*\) :
\[M(z) \mapsto M'(z') \quad\Longleftrightarrow\quad z' - z_\Omega = k\,(z - z_\Omega) \quad\Longleftrightarrow\quad z' = kz + z_\Omega(1-k).\]

Définition

Rotation \(R\) de centre \(\Omega(z_\Omega)\), angle \(\theta\) :
\[M(z) \mapsto M'(z') \quad\Longleftrightarrow\quad z' - z_\Omega = e^{i\theta}\,(z - z_\Omega) \quad\Longleftrightarrow\quad z' = e^{i\theta}\,z + z_\Omega(1 - e^{i\theta}).\]

Tableau récapitulatif

Transformation Écriture complexe Reconnaissance
Translation \(\vec{u}(z_{\vec{u}})\) \(z' = z + z_{\vec{u}}\) \(z' = z + b\)
Homothétie \((\Omega, k)\), \(k \in \mathbb{R}^*\), \(k \neq 1\) \(z' = kz + z_\Omega(1-k)\) \(z' = a z + b\), \(a \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}\)
Rotation \((\Omega, \theta)\), \(\theta \neq 0\,[2\pi]\) \(z' = e^{i\theta} z + z_\Omega(1 - e^{i\theta})\) \(z' = a z + b\), \(|a| = 1\), \(a \neq 1\)
Exemple

« Identification d’une transformation. »
Identifier la transformation \(z' = -iz + i - 1\).

Solution. On a \(a = -i\), donc \(|a| = 1\) et \(a \neq 1\) : c’est une rotation. Centre \(\Omega\) : point fixe : \(z_\Omega = -iz_\Omega + i - 1 \Longleftrightarrow z_\Omega(1 + i) = i - 1 \Longleftrightarrow z_\Omega = \dfrac{i-1}{1+i} = \dfrac{(i-1)(1-i)}{2} = \dfrac{2i}{2} = i\). Angle : \(\arg(-i) = -\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\).

Donc \(z' = -iz + i - 1\) est la rotation de centre \(\Omega(i)\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Application

Identifier les transformations :

  • \(z' = z - 3i\)

  • \(z' + 2i = -5(z + 2i)\)

  • \(z' = 1 - z\)

  • \(z' = 4z - 3i\)

À faire à la maison

Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) d’affixes \(z_A = \sqrt{3} - i\), \(z_B = -z_A\), \(z_C = \sqrt{3} + 3i\) et \(D\) le symétrique de \(C\) par rapport à l’axe réel.

  1. Calculer \(\dfrac{z_A - z_D}{z_A - z_C}\) et en déduire que \(A\), \(D\), \(C\) sont alignés.

  2. Vérifier que \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}\).

  3. Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral.

  4. Considérons la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{6}\). Déterminer l’écriture complexe de \(R\), puis l’image de \(A\).

  5. Soit la transformation \(F : z' = -iz + i - 1\). Identifier \(F\), déterminer son centre \(\Omega\) et son angle.

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