Série d’exercices

Mettre sous forme algébrique :

1. \(z_1 = \dfrac{3 + 6i}{3 - 4i}\)

2. \(z_2 = \left(\dfrac{1 + i}{2 - i}\right)^2\)

3. \(z_3 = \dfrac{2 + 5i}{1 - i} + \dfrac{2 - 5i}{1 + i}\)

4. \(z_4 = \dfrac{(1 + i)^9}{(1 - i)^7}\)

5. \(z_5 = \left(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\)

6. \(z_6 = \dfrac{1 + \sqrt{3}\,i}{1 - \sqrt{3}\,i}\)

Soit \(z \neq 1\) et \(Z = \dfrac{z - 2i}{z - 1}\) avec \(z = x + iy\) (\(x, y \in \mathbb{R}\)).

1. Déterminer \(\mathrm{Re}(Z)\) et \(\mathrm{Im}(Z)\) en fonction de \(x\) et \(y\).

2. Déterminer l’ensemble \((D)\) des points \(M(z)\) tels que \(Z \in \mathbb{R}\).

3. Déterminer l’ensemble \((C)\) des points \(M(z)\) tels que \(Z \in i\mathbb{R}\).

Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) vérifiant chaque condition :

1. \(|z + 1 + i| = 2\)

2. \(|z - 2i| = |z + i|\)

3. \(\dfrac{1 - z}{1 - iz} \in \mathbb{R}\)

4. \(\left|\dfrac{z - 2i}{z + i}\right| = 2\)

5. \(|(1 + i)z - 2i| = 2\)

6. \(|z - 1 - i| \leq 3\)

Donner la forme trigonométrique de chaque nombre :

1. \(z_1 = 1 + i\sqrt{3}\)

2. \(z_2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i\)

3. \(z_3 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} - i}\)

4. \(z_4 = (1 - i)(-\sqrt{3} + i)\)

5. \(z_5 = \sqrt{6} - \sqrt{2}\,i\)

6. \(z_6 = (1 + i)^5\)

Pour \(\theta \in\,]-\pi\,;\pi]\), mettre sous forme trigonométrique :

1. \(z = \sin\theta + i\cos\theta\)

2. \(z = -\cos\theta + i\sin\theta\)

3. \(z = 1 + \cos\theta + i\sin\theta\) (factoriser \(e^{i\theta/2}\))

4. \(z = \dfrac{1 + i\tan\theta}{1 - i\tan\theta}\) (pour \(\theta \neq \tfrac{\pi}{2} + k\pi\))

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :

1. \((2 - i)z + i = 0\)

2. \(\dfrac{z + 1}{z - 1} = 2i\)

3. \(z + 2\overline{z} = 6 + i\)

4. \(z = (1 + i)\overline{z} + 3 - 2i\)

5. \(\begin{cases} z + \overline{z} = 2 \\ 2z - \overline{z} = 1 + i \end{cases}\)

6. \(z^2 + 4z + 29 = 0\)

Soit \(Z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{3} - i}\).

1. Déterminer le module et un argument de \(1 + i\) et de \(\sqrt{3} - i\).

2. Écrire \(Z\) sous forme algébrique (en multipliant par le conjugué).

3. Écrire \(Z\) sous forme trigonométrique.

4. En déduire les valeurs exactes de \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

1. Soient \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) tels que \(|z_1| = |z_2| = 1\) et \(1 + z_1 z_2 \neq 0\). Démontrer que \(\dfrac{z_1 + z_2}{1 + z_1 z_2} \in \mathbb{R}\).

2. Soit \(z \in \mathbb{C}\), \(z \neq 1\). Démontrer l’équivalence :
   \[|z| = 1 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{1 + z}{1 - z} \in i\mathbb{R}.\]

3. Soit \(p(z) = \dfrac{5z}{z^2 + 1}\) pour \(z \neq \pm i\). Montrer que \(p(z) \in \mathbb{R}\) ssi \((z - \overline{z})(|z|^2 - 1) = 0\). En déduire l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(p(z) \in \mathbb{R}\).

Partie A. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(8z^3 + 1 = 0\).

1. Vérifier que \(8z^3 + 1 = (2z + 1)(4z^2 - 2z + 1)\).

2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) et donner les trois solutions sous formes algébrique et exponentielle.

Partie B. Soient \(A(a)\), \(B(b)\), \(C(c)\) d’affixes :
\[a = \dfrac{1}{4} + i\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \quad b = -\dfrac{1}{8} + i\dfrac{\sqrt{3}}{8}, \quad c = -\dfrac{1}{2}.\]

1. Écrire \(a\) sous forme exponentielle. En déduire \(|a|\) et \(\arg(a)\).

2. Vérifier que \(a^2 = b\) et en déduire un argument de \(b\).

3. Montrer que \(\dfrac{b - a}{b} = i\sqrt{3}\) et en déduire que le triangle \(OAB\) est rectangle en \(B\).

4. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\). Donner son écriture complexe et vérifier que \(C = R(A)\).

5. Montrer que \(B\) est le milieu de \([AC]\).

Partie A. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 4\sqrt{3}\,z + 16 = 0\).

Partie B. Soient \(a = 2(\sqrt{3} + i)\), \(b = 1 + i\), \(c = 2\sqrt{2}\,(1 + i\sqrt{3})\).

1. Écrire \(a\), \(b\), \(c\) et \(\dfrac{b}{c}\) sous forme exponentielle.

2. Montrer que \(a^{15}\) est imaginaire pur.

3. Démontrer que \(\dfrac{ab}{c} = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i \sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\).

4. Écrire \(\dfrac{ab}{c}\) sous forme algébrique.

5. En déduire que \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).

6. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{12}\). Trouver l’affixe de \(P = R(B)\) et montrer que \(O\), \(A\), \(P\) sont alignés.