Ordre dans R
Table des matières
Relation d’ordre dans \(\mathbb{R}\)
Définition
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
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\(a\leq b\) signifie que \(b-a\geq 0\).
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\(a<b\) signifie que \(b-a>0\).
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\(a\geq b\) signifie que \(a-b\geq 0\).
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\(a>b\) signifie que \(a-b>0\).
Propriétés de la relation \(\leq\) :
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Réflexivité : \(a\leq a\) pour tout \(a\in\mathbb{R}\).
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Antisymétrie : si \(a\leq b\) et \(b\leq a\), alors \(a=b\).
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Transitivité : si \(a\leq b\) et \(b\leq c\), alors \(a\leq c\).
Compatibilité de l’ordre avec les opérations
Pour tous réels \(a,b,c,d\) :
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\(a\leq b \iff a+c\leq b+c\) (compatibilité avec l’addition).
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Si \(a\leq b\) et \(c\leq d\), alors \(a+c\leq b+d\).
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Si \(a\leq b\) et \(c\geq 0\), alors \(a\,c\leq b\,c\).
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Si \(a\leq b\) et \(c\leq 0\), alors \(a\,c\geq b\,c\) (le sens change).
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Si \(0\leq a\leq b\) et \(0\leq c\leq d\), alors \(0\leq a\,c\leq b\,d\).
Passage à l’inverse :
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Si \(0<a\leq b\), alors \(0<\dfrac{1}{b}\leq \dfrac{1}{a}\).
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Si \(a\leq b<0\), alors \(\dfrac{1}{b}\leq \dfrac{1}{a}<0\).
Passage au carré :
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Si \(0\leq a\leq b\), alors \(a^{2}\leq b^{2}\).
-
Si \(a\leq b\leq 0\), alors \(a^{2}\geq b^{2}\).
Passage à la racine carrée : si \(0\leq a\leq b\), alors \(\sqrt{a}\leq \sqrt{b}\).
Exemple
Comparer \(\sqrt{3}+1\) et \(\sqrt{5}\).
\((\sqrt{3}+1)^{2}=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}\approx 7{,}46\)
\((\sqrt{5})^{2}=5\)
Donc \((\sqrt{3}+1)^{2}>(\sqrt{5})^{2}\), d’où \(\sqrt{3}+1>\sqrt{5}\).
Intervalles de \(\mathbb{R}\)
Définition
Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) avec \(a\leq b\). On définit les intervalles suivants :
| Notation | Définition | Représentation |
|---|---|---|
| \([a\,;b]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a\leq x\leq b\}\) | intervalle fermé |
| \(]a\,;b[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a<x<b\}\) | intervalle ouvert |
| \([a\,;b[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a\leq x<b\}\) | semi-ouvert à droite |
| \(]a\,;b]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a<x\leq b\}\) | semi-ouvert à gauche |
| \([a\,;+\infty[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x\geq a\}\) | demi-droite fermée |
| \(]a\,;+\infty[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x>a\}\) | demi-droite ouverte |
| \(]-\infty\,;a]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x\leq a\}\) | demi-droite fermée |
| \(]-\infty\,;a[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x<a\}\) | demi-droite ouverte |
| \(]-\infty\,;+\infty[\) | \(\mathbb{R}\) | droite réelle |
Définition
Opérations sur les intervalles.
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L’intersection \(I\cap J\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(I\) et à \(J\).
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La réunion \(I\cup J\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(I\) ou à \(J\).
Exemple
\([1\,;5]\cap[3\,;7]=[3\,;5]\) ; \([1\,;5]\cup[3\,;7]=[1\,;7]\) ; \(]-\infty\,;2]\cap[5\,;+\infty[=\varnothing\).
Valeur absolue
Définition
Pour tout réel \(x\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), est définie par :
\[|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\geq 0 \\ -x & \text{si } x<0.\end{cases}\]
Exemple
\(|5|=5\) ; \(|-3|=3\) ; \(|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\) ; \(|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\) (car \(\sqrt{5}>2\)).
Pour tous réels \(x,y\) :
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\(|x|\geq 0\), et \(|x|=0\iff x=0\).
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\(|-x|=|x|\).
-
\(|x|=\sqrt{x^{2}}\).
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\(|xy|=|x|\cdot|y|\).
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\(\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}\) (si \(y\neq 0\)).
-
\(|x+y|\leq |x|+|y|\) (inégalité triangulaire).
Définition
Distance entre deux réels. Pour tous réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) est :
\[d(a,b)=|b-a|=|a-b|.\]
Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(r>0\). Alors :
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\(|x-a|\leq r \iff a-r\leq x\leq a+r \iff x\in[a-r\,;a+r]\).
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\(|x-a|<r \iff x\in]a-r\,;a+r[\).
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\(|x-a|\geq r \iff x\leq a-r\) ou \(x\geq a+r\), i.e. \(x\in]-\infty\,;a-r]\cup[a+r\,;+\infty[\).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(|2x-3|\leq 5\).
\[|2x-3|\leq 5 \iff -5\leq 2x-3\leq 5 \iff -2\leq 2x\leq 8 \iff -1\leq x\leq 4.\]
Donc \(S=[-1\,;4]\).
Encadrement et approximation
Définition
Encadrer un réel \(x\), c’est trouver deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(a\leq x\leq b\).
La différence \(b-a\) est appelée l’amplitude (ou précision) de l’encadrement.
Exemple
On a \(1{,}41\leq \sqrt{2}\leq 1{,}42\) : c’est un encadrement de \(\sqrt{2}\) d’amplitude \(0{,}01\).
Valeur approchée
Définition
Soit \(x\in\mathbb{R}\) et \(a\in\mathbb{R}\). On dit que \(a\) est une valeur approchée de \(x\) à la précision \(\varepsilon>0\) près si :
\[|x-a|\leq\varepsilon, \quad\text{c'est-à-dire}\quad a-\varepsilon\leq x\leq a+\varepsilon.\]
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Si \(a\leq x\), on dit que \(a\) est une valeur approchée par défaut.
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Si \(a\geq x\), on dit que \(a\) est une valeur approchée par excès.
Exemple
\(\sqrt{2}\approx 1{,}414\) est une valeur approchée de \(\sqrt{2}\) à \(10^{-3}\) près.
\(3{,}14\) est une valeur approchée par défaut de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près.
Partie entière
Définition
La partie entière d’un réel \(x\), notée \(E(x)\) ou \(\lfloor x\rfloor\), est l’unique entier \(n\in\mathbb{Z}\) tel que :
\[n\leq x<n+1.\]
Exemple
\(E(3{,}7)=3\) ; \(E(5)=5\) ; \(E(-2{,}3)=-3\) (car \(-3\leq -2{,}3<-2\)) ; \(E(\pi)=3\).
Exercice n°1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
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\(|x-1|=3\)
-
\(|2x+3|<7\)
-
\(|x-4|\geq 5\)
Exercice n°2
Sachant que \(1{,}414\leq\sqrt{2}\leq 1{,}415\) et \(1{,}732\leq\sqrt{3}\leq 1{,}733\), donner un encadrement de \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\), puis de \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\).
Exercice n°3
Soit \(x\in[2\,;5]\). Encadrer les expressions suivantes :
\[A=3x-1,\quad B=-2x+4,\quad C=x^{2},\quad D=\dfrac{1}{x}.\]