Fonctions numériques
Table des matières
Notion de fonction numérique
Définition
Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\).
Une fonction numérique \(f\) de variable réelle, définie sur \(D\), est une correspondance qui à tout réel \(x\in D\) associe un unique réel noté \(f(x)\).
On note : \(f:D\to\mathbb{R}\), \(x\mapsto f(x)\).
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\(D\) est l’ensemble de définition de \(f\), noté \(D_{f}\).
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\(f(x)\) est l’image de \(x\) par \(f\).
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\(x\) est un antécédent de \(f(x)\) par \(f\).
Exemple
Soit \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).
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Domaine : \(D_{f}=\{x\in\mathbb{R}\ |\ x-3\neq 0\}=\mathbb{R}\setminus\{3\}=]-\infty;3[\,\cup\,]3;+\infty[\).
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Image de \(0\) : \(f(0)=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}\).
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Antécédent de \(1\) : on résout \(f(x)=1\Leftrightarrow 2x+1=x-3\Leftrightarrow x=-4\).
Remarque
Recherche du domaine — règles usuelles :
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Un quotient \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) existe ssi \(Q(x)\neq 0\).
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\(\sqrt{P(x)}\) existe ssi \(P(x)\geq 0\).
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\(\dfrac{1}{\sqrt{P(x)}}\) existe ssi \(P(x)>0\).
Exercice n°1
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
\[f(x)=\sqrt{x-2},\quad g(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-4},\quad h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-6}},\quad k(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x-1}.\]
Représentation graphique
Définition
Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), la courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_{f}\), est l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que :
\[x\in D_{f}\quad\text{et}\quad y=f(x).\]
Remarque
Un point \(M(x_{0}\,;y_{0})\) appartient à \(\mathcal{C}_{f}\) si et seulement si \(x_{0}\in D_{f}\) et \(y_{0}=f(x_{0})\).
Égalité de deux fonctions
Définition
Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont égales, et l’on écrit \(f=g\), si et seulement si :
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\(D_{f} = D_{g}\).
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\(\forall x\in D_{f},\ f(x)=g(x)\).
Exemple
Soient \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) et \(g(x)=x+1\).
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\(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) et \(D_{g}=\mathbb{R}\).
-
\(D_{f}\neq D_{g}\), donc \(f\neq g\) (même si \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\neq 1\)).
Parité d’une fonction
Définition
Soit \(f\) une fonction de domaine \(D_{f}\).
-
\(f\) est paire si pour tout \(x\in D_{f}\) : \(-x\in D_{f}\) et \(f(-x)=f(x)\).
-
\(f\) est impaire si pour tout \(x\in D_{f}\) : \(-x\in D_{f}\) et \(f(-x)=-f(x)\).
La condition « \(-x\in D_{f}\) » signifie que \(D_{f}\) est symétrique par rapport à \(0\).
Dans un repère orthonormé :
-
Si \(f\) est paire, alors \(\mathcal{C}_{f}\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
-
Si \(f\) est impaire, alors \(\mathcal{C}_{f}\) est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
Exemple
Exemple 1. Soit \(f(x)=x^{2}+1\).
\(D_{f}=\mathbb{R}\) (symétrique). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(-x)=(-x)^{2}+1=x^{2}+1=f(x)\).
Donc \(f\) est paire.
Exemple 2. Soit \(g(x)=x^{3}-x\).
\(D_{g}=\mathbb{R}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(g(-x)=(-x)^{3}-(-x)=-x^{3}+x=-(x^{3}-x)=-g(x)\).
Donc \(g\) est impaire.
Exemple 3. Soit \(h(x)=x^{2}+x\).
\(h(-x)=x^{2}-x\). On a \(h(-x)\neq h(x)\) et \(h(-x)\neq -h(x)\) en général.
Donc \(h\) n’est ni paire, ni impaire.
Exercice n°2
Étudier la parité des fonctions suivantes :
\[f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1},\quad g(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1},\quad h(x)=\sqrt{x^{2}+1}-x,\quad k(x)=|x|+x^{4}.\]
Sens de variation et monotonie
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\subset D_{f}\).
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\(f\) est croissante sur \(I\) si pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) :
\[x_{1}\leq x_{2}\ \Rightarrow\ f(x_{1})\leq f(x_{2}).\] -
\(f\) est décroissante sur \(I\) si pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) :
\[x_{1}\leq x_{2}\ \Rightarrow\ f(x_{1})\geq f(x_{2}).\] -
\(f\) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si les inégalités sont strictes.
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\(f\) est constante sur \(I\) si \(f(x_{1})=f(x_{2})\) pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\).
-
\(f\) est monotone sur \(I\) si elle est croissante ou décroissante sur \(I\).
Méthode du taux d’accroissement.
Soient \(x_{1},x_{2}\in I\) avec \(x_{1}\neq x_{2}\). On pose :
\[T(x_{1},x_{2})=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}.\]
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Si \(T(x_{1},x_{2})>0\) pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) avec \(x_{1}\neq x_{2}\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
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Si \(T(x_{1},x_{2})<0\) pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) avec \(x_{1}\neq x_{2}\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Exemple
Étudier les variations de \(f(x)=x^{2}\) sur \(\mathbb{R}\).
Soient \(x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\) avec \(x_{1}\neq x_{2}\) :
\[T(x_{1},x_{2})=\dfrac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}-x_{1}}=\dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=x_{1}+x_{2}.\]
-
Sur \(]-\infty;0]\) : \(x_{1}+x_{2}\leq 0\), donc \(f\) est décroissante.
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Sur \([0;+\infty[\) : \(x_{1}+x_{2}\geq 0\), donc \(f\) est croissante.
Tableau de variation
Remarque
On résume les variations d’une fonction dans un tableau de variation.
Exemple pour \(f(x)=x^{2}\) :
\[\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \\ \hline \end{array}\]
Extremums
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_{0}\in I\).
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\(f(x_{0})\) est un maximum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)\leq f(x_{0})\).
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\(f(x_{0})\) est un minimum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)\geq f(x_{0})\).
On parle d’extremum pour désigner un maximum ou un minimum.
Exemple
La fonction \(f(x)=x^{2}\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) en \(x_{0}=0\), et ce minimum vaut \(f(0)=0\).
Vérification : pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(x^{2}\geq 0=f(0)\).
Comparaison de fonctions et position relative de courbes
Définition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\).
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\(f\leq g\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)\leq g(x)\).
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\(f<g\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)<g(x)\).
Soient \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\) les courbes représentatives respectives de \(f\) et \(g\) sur \(I\).
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Si \(f\leq g\) sur \(I\), alors \(\mathcal{C}_{f}\) est en dessous de \(\mathcal{C}_{g}\) sur \(I\).
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Si \(f=g\) en \(x_{0}\), les courbes se coupent au point d’abscisse \(x_{0}\).
Remarque
Méthode : pour étudier la position relative de \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\), on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\) sur \(I\).
Exemple
Comparer \(f(x)=x^{2}\) et \(g(x)=x\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f(x)-g(x)=x^{2}-x=x(x-1)\). Tableau de signes :
\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline x & & - & 0 & + & + & + & \\ x-1 & & - & & - & 0 & + & \\ \hline f(x)-g(x)& & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}\]
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\(\mathcal{C}_{f}\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_{g}\) sur \(]-\infty;0]\cup[1;+\infty[\).
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\(\mathcal{C}_{f}\) est en dessous de \(\mathcal{C}_{g}\) sur \([0;1]\).
-
Les courbes se coupent en \(x=0\) et \(x=1\).
Fonctions de référence
Variations des fonctions usuelles :
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\(f(x)=ax+b\) (affine, \(a\neq 0\)) : strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) si \(a>0\), strictement décroissante si \(a<0\).
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\(f(x)=x^{2}\) : décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Minimum en \(0\).
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\(f(x)=x^{3}\) : strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Fonction impaire.
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\(f(x)=\dfrac{1}{x}\) : strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\). Fonction impaire.
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\(f(x)=\sqrt{x}\) : strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
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\(f(x)=|x|\) : décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Fonction paire.
Exercice n°3
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Étudier les variations de la fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) en utilisant le taux d’accroissement.
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En déduire les variations sur \(]-\infty;0[\) en utilisant l’imparité.
Exercice n°4
Soit \(f(x)=x^{2}-4x+3\).
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Vérifier que \(f(x)=(x-2)^{2}-1\).
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En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(]-\infty;2]\) et sur \([2;+\infty[\).
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Donner le tableau de variation de \(f\).
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Préciser le minimum de \(f\).