Fonctions primitives
Table des matières
Notion de primitive
Soient \(f\) et \(F\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = 5x^3 - 3x + 2 \quad \text{et} \quad F(x) = \dfrac{5}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x.\]
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Vérifier que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
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Soit \(G(x) = F(x) - 4\). Montrer que \(G\) est aussi une « primitive » de \(f\).
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Que peut-on dire de \(F\) et \(G\) ?
Définition
Définition
Soient \(f\) et \(F\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si :
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\(F\) est dérivable sur \(I\).
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Pour tout \(x \in I\),\(F'(x) = f(x)\).
Exemple
« Vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre. »
Montrer que \(F : x \mapsto 2\sqrt{x} + 7\) est une primitive de \(f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0;+\infty[\).
Solution. La fonction \(F\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) comme somme d’une fonction dérivable et d’une constante. Pour tout \(x>0\) :
\[F'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = f(x).\]
Donc \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(]0;+\infty[\).
Application
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Vérifier que \(F : x \mapsto x^2 + 2x + 3\) est une primitive de \(f : x \mapsto 2x + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
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Vérifier que \(F : x \mapsto 5x + 4\) est une primitive de \(f : x \mapsto 5\) sur \(\mathbb{R}\).
Existence des primitives
Proposition
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet une primitive sur \(I\).
Exemple
« Justifier l’existence d’une primitive. »
Montrer que la fonction \(f : x \mapsto x\sqrt{x+1} + \cos x\) admet une primitive sur \(I = [-1\,;+\infty[\).
Solution. La fonction \(x \mapsto x\) est continue sur \(\mathbb{R}\) ; la fonction \(x \mapsto \sqrt{x+1}\) est continue sur \([-1\,;+\infty[\) ; donc \(x \mapsto x\sqrt{x+1}\) est continue sur \([-1\,;+\infty[\). La fonction \(x \mapsto \cos x\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Par somme, \(f\) est continue sur \([-1\,;+\infty[\). D’après la propriété, \(f\) admet une primitive sur \(I\).
Application
Justifier que les fonctions suivantes admettent une primitive sur l’intervalle indiqué :
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\(f(x) = \sin x + x^2\) sur \(\mathbb{R}\).
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\(g(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\).
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\(h(x) = \sqrt{x-3}\) sur \([3;+\infty[\).
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\(k(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
À faire à la maison
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Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(0) = 1\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(F(0) = 2\). Calculer la dérivée de \(G(x) = F(x^2 + 1)\) en \(x = 0\).
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Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\). Vérifier que \(f(x) = 1 + \dfrac{2x}{x^2+1}\) et utiliser ce résultat pour justifier que \(f\) admet une primitive sur \(\mathbb{R}\) (vue en chapitre suivant : ne pas calculer cette primitive).
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Pour quelle(s) valeur(s) du réel \(a\) la fonction \(F(x) = (a x + 1) \cos x + (1 - a) \sin x\) est-elle une primitive de \(f(x) = -x \sin x\) sur \(\mathbb{R}\) ?
Ensemble des primitives
Proposition
Soit \(F\) une primitive d’une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\).
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L’ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est l’ensemble des fonctions \(x \mapsto F(x) + c\), où \(c \in \mathbb{R}\).
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Pour tout \(x_0 \in I\) et tout \(y_0 \in \mathbb{R}\), il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant \(G(x_0) = y_0\).
Remarque
La constante \(c \in \mathbb{R}\), appelée constante d’intégration, ne doit jamais être oubliée. Sans condition initiale, une fonction admet une infinité de primitives.
Exemple
« Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale. »
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 8x - 7\). Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(1) = 0\).
Solution. Toute primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) s’écrit :
\[F(x) = x^4 - \dfrac{5}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + c,\quad c \in \mathbb{R}.\]
La condition \(F(1) = 0\) s’écrit :
\[1 - \dfrac{5}{3} + 4 - 7 + c = 0 \;\Longleftrightarrow\; -2 - \dfrac{5}{3} + c = 0 \;\Longleftrightarrow\; c = \dfrac{11}{3}.\]
Donc \(F(x) = x^4 - \dfrac{5}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + \dfrac{11}{3}\).
Application
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Déterminer toutes les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = x^4 - 3x^3 + 5\).
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Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 6x^2 + 2x + 1\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0) = 3\).
À faire à la maison
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Soit \(f(x) = (2x+1)(x-3)^2\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer toutes les primitives de \(f\), puis trouver celle qui s’annule en \(x = 1\).
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Soit \(f(x) = \dfrac{1}{(x+2)^2}\) sur \(]-\infty\,;-2[\). Déterminer la primitive \(F\) telle que \(F(0) = 5\).
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Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\) et \(F, G\) deux primitives de \(f\) sur \([a;b]\) telles que \(F(a) = 2\), \(F(b) = 7\) et \(G(a) = -1\). Calculer \(G(b)\).
Primitives des fonctions usuelles
Proposition
Le tableau ci-dessous donne, pour chaque fonction \(f\), une primitive \(F\). Toutes les autres primitives s’obtiennent en ajoutant une constante \(c \in \mathbb{R}\).
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(a\) | \(ax\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\), \(n \in \mathbb{N}^*\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^r\), \(r \in \mathbb{Q}^* \setminus \{-1\}\) | \(\dfrac{x^{r+1}}{r+1}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(1 + \tan^2 x\) | \(\tan x\) | \(\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\,;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[\) |
| \(\cos(ax+b)\), \(a \neq 0\) | \(\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(ax+b)\), \(a \neq 0\) | \(-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
Exemple
« Lecture directe du tableau. »
Déterminer une primitive de \(f(x) = 3x^2 - \dfrac{1}{x^2} + \cos x\) sur \(]0;+\infty[\).
Solution. On somme une primitive de chaque terme :
\[F(x) = x^3 + \dfrac{1}{x} + \sin x.\]
Application
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur un intervalle approprié :
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\(f_1(x) = 2x^5 - 3x^2 - 1\)
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\(f_2(x) = \sqrt{x}\)
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\(f_3(x) = \cos(3x - 1)\)
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\(f_4(x) = \sin(5 - 2x)\)
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\(f_5(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x^2}\)
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\(f_6(x) = 1 + \tan^2 x\)
À faire à la maison
Déterminer une primitive de chaque fonction sur un intervalle approprié :
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\(g_1(x) = \cos(2x) - \sin(3x + \pi/4)\)
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\(g_2(x) = \sin^2(x)\) (linéariser via \(\cos(2x)\))
-
\(g_3(x) = \cos^2(x)\) (linéariser via \(\cos(2x)\))
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\(g_4(x) = (3x - 1)^4 + (2x + 5)^7\)
Primitives par formules de composition
Proposition
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), \(r \in \mathbb{Q}^* \setminus \{-1\}\). Sur tout intervalle où les expressions ont un sens :
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\(u' \cdot u^r\) admet pour primitive \(\dfrac{u^{r+1}}{r+1}\).
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\(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) admet pour primitive \(2\sqrt{u}\)(sur tout intervalle où \(u>0\)).
-
\(\dfrac{u'}{u^2}\) admet pour primitive \(-\dfrac{1}{u}\)(sur tout intervalle où \(u \neq 0\)).
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\(u' \cdot v + u \cdot v'\) admet pour primitive \(u \cdot v\).
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\(\dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\) admet pour primitive \(\dfrac{u}{v}\)(sur tout intervalle où \(v \neq 0\)).
Exemple
« Reconnaître la forme \(u' \cdot u^r\). »
Déterminer une primitive de \(f(x) = (3x^2 - 1)(x^3 - x)^2\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution. On pose \(u(x) = x^3 - x\), alors \(u'(x) = 3x^2 - 1\). On reconnaît \(f = u' \cdot u^2\), donc une primitive est :
\[F(x) = \dfrac{u^3(x)}{3} = \dfrac{(x^3-x)^3}{3}.\]
Exemple
« Reconnaître la forme \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\). »
Déterminer une primitive de \(f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution. On pose \(u(x) = x^2 + 1 > 0\), alors \(u'(x) = 2x\). On reconnaît \(f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}}\), donc une primitive est :
\[F(x) = 2\sqrt{x^2+1}.\]
Application
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
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\(f_1(x) = \cos x \cdot (\sin x)^4\) sur \(\mathbb{R}\).
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\(f_2(x) = \sqrt{x+2}\) sur \([-2;+\infty[\).
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\(f_3(x) = (2x+1)\sqrt{2x+1}\) sur \(\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).
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\(f_4(x) = \dfrac{x}{(x^2+1)^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
À faire à la maison
Déterminer une primitive de chaque fonction sur un intervalle approprié :
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\(h_1(x) = \dfrac{x^3}{(x^4 + 1)^3}\)
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\(h_2(x) = \dfrac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x + 5}}\)
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\(h_3(x) = \sin(x)\,\cos^3(x)\)
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\(h_4(x) = \dfrac{\cos x}{(2 + \sin x)^2}\)
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\(h_5(x) = \dfrac{x^2}{\sqrt{x^3 + 4}}\)
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\(h_6(x) = \tan x \cdot (1 + \tan^2 x)\)