Série d'exercices Tronc Commun

Série d’exercices

2 min de lecture · La projection
Exercice n°1

Soit \(ABC\) un triangle, et soit \(I\) le milieu de \([BC]\).

  1. Construire le projeté \(A'\) de \(A\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AI)\). Que constate-t-on ?

  2. Construire le projeté \(B'\) de \(B\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\). Quelle est sa position ?

Exercice n°2

Soit \(ABC\) un triangle. On considère \(M\in[AB]\) tel que \(AM=\dfrac{1}{4}AB\), et la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\).

  1. Faire une figure.

  2. En appliquant le théorème de Thalès, exprimer \(\dfrac{AN}{AC}\) et \(\dfrac{MN}{BC}\).

  3. Si \(BC=12\) cm, calculer \(MN\).

Exercice n°3

Sur la figure ci-dessous, les droites \((D_{1})\), \((D_{2})\), \((D_{3})\) sont parallèles. Elles coupent deux droites sécantes en \(A,B,C\) et \(A',B',C'\) respectivement.
On donne \(AB=3\), \(BC=5\), \(A'B'=4\). Calculer \(B'C'\) et \(A'C'\).

Exercice n°4

Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\) avec \(AM=2\) cm, \(MB=4\) cm, \(AN=3\) cm, \(NC=6\) cm.

  1. Calculer \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\).

  2. En déduire que \((MN)\parallel(BC)\) (réciproque du théorème de Thalès).

Exercice n°5

Théorème des milieux.
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs de \([AB]\) et \([AC]\).

  1. Montrer que \((IJ)\parallel(BC)\).

  2. Montrer que \(IJ=\dfrac{1}{2}BC\).

  3. Application : dans un triangle \(ABC\), on a \(BC=10\) cm. Calculer \(IJ\).

Exercice n°6

Théorème de Varignon.
Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque. Soient \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) les milieux respectifs des côtés \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).

  1. Dans le triangle \(ABC\), comparer \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

  2. Dans le triangle \(ACD\), comparer \(\overrightarrow{SR}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

  3. En déduire que \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}\). Conclusion sur \(PQRS\) ?

Exercice n°7

Soit \(ABC\) un triangle, \(G\) son centre de gravité, et \(A'\) le milieu de \([BC]\).

  1. Justifier que \(A\), \(G\), \(A'\) sont alignés.

  2. Montrer que \(\dfrac{AG}{AA'}=\dfrac{2}{3}\) (indication : utiliser la propriété fondamentale du centre de gravité \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\)).

Exercice n°8

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Soient \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([CD]\).

  1. Montrer que \((AJ)\parallel(IC)\).

  2. En déduire que \(AICJ\) est un parallélogramme.

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