Projection dans le plan
Table des matières
Projection d’un point sur une droite
Définition
Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes du plan.
Pour tout point \(M\) du plan, on appelle projeté de \(M\) sur la droite \((D)\) parallèlement à la droite \((\Delta)\) l’unique point \(M'\) de \((D)\) tel que :
\[(MM')\parallel(\Delta) \quad\text{ou}\quad M=M'.\]
On dit que \(M'\) est l’image de \(M\) par la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
Remarque
-
Si \((D)\) et \((\Delta)\) sont parallèles, la projection n’est pas définie.
-
Si \(M\in(D)\), alors \(M'=M\).
-
Lorsque \((\Delta)\perp(D)\), on parle de projection orthogonale de \(M\) sur \((D)\).
Propriétés de la projection
Conservation de l’alignement.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points alignés et \(A'\), \(B'\), \(C'\) leurs projetés respectifs sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\), alors \(A'\), \(B'\), \(C'\) sont alignés sur \((D)\).
Conservation du milieu.
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) et si \(A'\), \(B'\), \(I'\) sont les projetés respectifs de \(A\), \(B\), \(I\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\), alors \(I'\) est le milieu de \([A'B']\).
Conservation du parallélisme.
Si \((AB)\parallel(CD)\) et \(A',B',C',D'\) leurs projetés respectifs sur \((\mathcal{D})\) parallèlement à \((\Delta)\), alors \((A'B')\parallel(C'D')\) (ou points confondus).
Remarque
Attention : la projection ne conserve pas en général :
-
les distances (sauf cas particulier),
-
les angles (sauf cas particulier).
Théorème de Thalès (forme vectorielle)
Théorème
Théorème de Thalès.
Soient \((D_{1})\), \((D_{2})\), \((D_{3})\) trois droites parallèles et distinctes, coupant deux droites sécantes \((\Delta)\) et \((\Delta')\) respectivement en \(A,B,C\) et \(A',B',C'\).
Alors :
\[\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}.\]
(Égalité de mesures algébriques.)
Énoncé classique dans un triangle
Théorème
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(M\in(AB)\) et \(N\in(AC)\) tels que \((MN)\parallel(BC)\). Alors :
\[\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}, \quad\text{et vectoriellement :}\quad \overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AN}=k\,\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{MN}=k\,\overrightarrow{BC},\]
où \(k\) est un nombre réel commun.
Théorème
Réciproque du théorème de Thalès.
Soit \(ABC\) un triangle, \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\).
Si \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) (et \(M,N\) du même côté de \(A\)), alors \((MN)\parallel(BC)\).
Exemple
Dans un triangle \(ABC\), on considère \(M\in[AB]\) tel que \(AM=\dfrac{1}{3}AB\), et \(N\in[AC]\) tel que \(AN=\dfrac{1}{3}AC\).
Alors \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{3}\), donc par la réciproque du théorème de Thalès : \((MN)\parallel(BC)\).
De plus : \(MN=\dfrac{1}{3}BC\).
Application : milieu et partage d’un segment
Théorème des milieux.
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\). Alors :
\[(IJ)\parallel(BC) \quad\text{et}\quad IJ=\dfrac{1}{2}BC.\]
Théorème réciproque.
Soit \(ABC\) un triangle. Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) et si la parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \((AC)\) en \(J\), alors \(J\) est le milieu de \([AC]\).
Exemple
Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque. Soient \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).
Dans le triangle \(ABC\), \(P\) et \(Q\) sont les milieux de \([AB]\) et \([BC]\), donc \((PQ)\parallel(AC)\) et \(PQ=\dfrac{1}{2}AC\).
De même, dans le triangle \(ACD\), \((SR)\parallel(AC)\) et \(SR=\dfrac{1}{2}AC\).
Donc \((PQ)\parallel(SR)\) et \(PQ=SR\), d’où \(PQRS\) est un parallélogramme (théorème de Varignon).
Exercice n°1
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\) tels que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\).
-
Montrer que \((MN)\parallel(BC)\).
-
Déterminer \(MN\) en fonction de \(BC\).
Exercice n°2
Dans la figure ci-dessous, \((D_{1})\parallel(D_{2})\parallel(D_{3})\). On donne \(AB=4\), \(BC=6\), \(A'B'=3\).
Calculer \(B'C'\) et \(A'C'\).
Exercice n°3
Soit \(ABC\) un triangle et \(G\) son centre de gravité. Soit \(A'\) le milieu de \([BC]\).
-
Justifier que \(A\), \(G\), \(A'\) sont alignés.
-
Montrer que \(\dfrac{AG}{AA'}=\dfrac{2}{3}\).