Série d'exercices Tronc Commun

Série d’exercices

3 min de lecture · La géométrie dans l'espace
Exercice n°1

Dans un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\), on donne \(A(1\,;-2\,;3)\) et \(B(4\,;0\,;-1)\).

  1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

  2. Calculer \(AB\).

  3. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

Exercice n°2

Étudier la colinéarité des couples de vecteurs suivants :

  1. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ -4\\ 6\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ -3\end{pmatrix}\)

  2. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\ 4\\ 7\end{pmatrix}\)

  3. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0\\ 3\\ -1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}0\\ -6\\ 2\end{pmatrix}\)

Exercice n°3

Soient \(A(2\,;-1\,;3)\), \(B(0\,;4\,;-2)\) et \(C(-2\,;9\,;-7)\) dans un repère orthonormé.

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

  2. Étudier la colinéarité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

  3. En déduire si \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

Exercice n°4

On considère les vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 8\end{pmatrix}\).

  1. Vérifier que \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires.

  2. Déterminer (s’ils existent) deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}\).

  3. Conclure sur la coplanarité de \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\).

Exercice n°5

Soit \(ABCDEFGH\) un cube. On pose \(\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{k}=\overrightarrow{AE}\), et l’on considère le repère \(\mathcal{R}=(A\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\).

  1. Justifier que \(\mathcal{R}\) est bien un repère de l’espace.

  2. Donner les coordonnées des huit sommets \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) dans \(\mathcal{R}\).

  3. Donner les coordonnées des points \(I\) (milieu de \([FG]\)), \(J\) (milieu de \([AC]\)) et \(K\) (centre de gravité du triangle \(BDE\)).

  4. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{HK}\).

Exercice n°6

Soit \((D)\) la droite passant par \(A(1\,;-2\,;3)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ 1\\ -3\end{pmatrix}\).

  1. Donner une représentation paramétrique de \((D)\).

  2. Le point \(B(5\,;0\,;-3)\) appartient-il à \((D)\) ?

  3. Le point \(C(-1\,;-3\,;6)\) appartient-il à \((D)\) ?

  4. Déterminer les coordonnées du point \(M\) de \((D)\) d’abscisse \(7\).

Exercice n°7

Soient \(A(1\,;0\,;2)\), \(B(3\,;-1\,;0)\), \(C(2\,;1\,;-3)\) et \(D(-1\,;3\,;1)\).

  1. Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\).

  2. Déterminer (s’ils existent) des réels \(\alpha,\beta\) tels que \(\overrightarrow{AD}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\).

  3. Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont-ils coplanaires ?

Exercice n°8

Soient \(A(-1\,;0\,;2)\), \(B(1\,;-2\,;0)\), \(C(3\,;-1\,;-1)\), et soit \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\).

  1. Calculer les coordonnées de \(G\).

  2. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{GA}\), \(\overrightarrow{GB}\), \(\overrightarrow{GC}\).

  3. Vérifier que \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).

Exercice n°9

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(2\,;-1\,;3)\) et \(B(4\,;3\,;-1)\).

  1. Calculer \(AB\).

  2. Soit \(M\) le milieu de \([AB]\). Donner ses coordonnées.

  3. Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).

Précédent
Vecteurs de l’espace
Suivant
Série d’exercices