Vecteurs de l’espace
Table des matières
Notions de base sur l’espace
Définition
L’espace est constitué de points, de droites et de plans vérifiant les règles suivantes :
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Par deux points distincts passe une unique droite.
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Par trois points non alignés passe un unique plan.
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Si deux points distincts d’une droite appartiennent à un plan, alors la droite entière est contenue dans ce plan.
Positions relatives de deux droites \((D)\) et \((D')\) de l’espace :
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Coplanaires (situées dans un même plan) :
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Confondues, ou
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Strictement parallèles, ou
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Sécantes (en un point unique).
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Non coplanaires : pas de plan contenant les deux.
Positions relatives d’une droite \((D)\) et d’un plan \((P)\) :
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\((D)\subset (P)\) : la droite est contenue dans le plan.
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\((D)\parallel (P)\) et \((D)\not\subset (P)\) : la droite et le plan sont strictement parallèles.
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\((D)\) et \((P)\) sont sécants : ils ont un unique point d’intersection.
Positions relatives de deux plans \((P)\) et \((P')\) :
-
Confondus.
-
Strictement parallèles.
-
Sécants selon une droite.
Vecteurs de l’espace
Définition
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts de l’espace.
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par :
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Une direction : celle de la droite \((AB)\).
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Un sens : de \(A\) vers \(B\).
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Une norme : \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\).
Si \(A=B\), on définit le vecteur nul \(\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA}\).
Remarque
Toutes les définitions vues dans le plan (égalité, opposition, somme par Chasles, multiplication par un scalaire) s’étendent à l’espace de manière naturelle.
Opérations sur les vecteurs
Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) de l’espace :
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \qquad (\text{relation de Chasles}).\]
Pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et tout réel \(k\) :
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\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\) (commutativité).
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\((\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})\) (associativité).
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\(k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}\) et \((k_{1}+k_{2})\overrightarrow{u}=k_{1}\overrightarrow{u}+k_{2}\overrightarrow{u}\).
Vecteurs colinéaires
Définition
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de l’espace sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}\).
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) de l’espace sont alignés ssi \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Vecteurs coplanaires
Définition
Trois vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) de l’espace sont dits coplanaires s’ils peuvent être représentés par des vecteurs dont les origines et extrémités appartiennent à un même plan.
Théorème
Caractérisation algébrique.
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires. Un vecteur \(\overrightarrow{w}\) est coplanaire avec \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) si et seulement s’il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que :
\[\overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}.\]
Remarque
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Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires, alors \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) sont toujours coplanaires (peu importe \(\overrightarrow{w}\)).
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Quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires.
Exemple
Soit \(ABCDEFGH\) un cube. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AE}\) ne sont pas coplanaires (ils définissent les trois arêtes issues de \(A\)).
Par contre, \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AC}\) sont coplanaires, car \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
Bases et repères de l’espace
Définition
On appelle base de l’espace tout triplet \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) de trois vecteurs non coplanaires.
Théorème
Soit \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) une base de l’espace. Pour tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) de l’espace, il existe un unique triplet \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\) tel que :
\[\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.\]
Le triplet \((x,y,z)\) est appelé coordonnées de \(\overrightarrow{u}\) dans la base \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\).
Définition
Un repère de l’espace est la donnée \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) d’un point \(O\) (origine) et d’une base \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\).
Pour tout point \(M\) de l’espace, il existe un unique triplet \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\) tel que :
\[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.\]
Le triplet \((x,y,z)\) est appelé coordonnées de \(M\) dans le repère.
Définition
Le repère est dit :
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Orthogonal si \(\overrightarrow{i}\perp\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{j}\perp\overrightarrow{k}\) et \(\overrightarrow{i}\perp\overrightarrow{k}\).
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Normé si \(\|\overrightarrow{i}\|=\|\overrightarrow{j}\|=\|\overrightarrow{k}\|=1\).
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Orthonormé s’il est orthogonal et normé.
Opérations en coordonnées
Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\), soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}\), et \(k\in\mathbb{R}\).
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\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x+x'\\ y+y'\\ z+z'\end{pmatrix}\)
-
\(k\,\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}kx\\ ky\\ kz\end{pmatrix}\)
-
\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff x=x',\ y=y',\ z=z'\).
Soient \(A(x_{A}\,;y_{A}\,;z_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B}\,;z_{B})\) deux points. Alors :
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}\\ y_{B}-y_{A}\\ z_{B}-z_{A}\end{pmatrix}.\]
Coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\) :
\[I\!\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\,;\,\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\,;\,\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).\]
Exemple
Soient \(A(1\,;-2\,;3)\) et \(B(4\,;0\,;-1)\) dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\).
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix},\qquad I_{[AB]}\!\left(\dfrac{5}{2}\,;\,-1\,;\,1\right).\]
Colinéarité en coordonnées
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}\) sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles :
\[xy'-yx'=0,\quad yz'-zy'=0,\quad zx'-xz'=0.\]
(Équivalent à : il existe \(k\in\mathbb{R}\) tel que \(x'=kx\), \(y'=ky\), \(z'=kz\).)
Exemple
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ -4\\ 6\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ -3\end{pmatrix}\) : on a \(\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{v}\). Donc colinéaires.
Distance entre deux points (repère orthonormé)
Théorème
Dans un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\), si \(A(x_{A}\,;y_{A}\,;z_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B}\,;z_{B})\) :
\[AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}.\]
Exemple
\(A(1\,;2\,;3)\) et \(B(4\,;6\,;3)\) : \(AB=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5\).
Représentation paramétrique d’une droite
Théorème
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(x_{A}\,;y_{A}\,;z_{A})\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}\) (\(\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{0}\)).
Un point \(M(x\,;y\,;z)\) appartient à \((D)\) si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :
\[\begin{cases} x=x_{A}+t\,\alpha \\ y=y_{A}+t\,\beta \\ z=z_{A}+t\,\gamma \end{cases} \qquad (t\in\mathbb{R}).\]
Ce système est appelé représentation paramétrique de \((D)\).
Exemple
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(1\,;0\,;-2)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 3\end{pmatrix}\).
Représentation paramétrique :
\[(D):\ \begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=-2+3t\end{cases}\quad (t\in\mathbb{R}).\]
Test : le point \(B(5\,;-2\,;4)\) appartient-il à \((D)\) ?
On résout \(5=1+2t \Rightarrow t=2\). On vérifie : \(y=-2\) ✓, \(z=-2+6=4\) ✓. Donc oui, \(B\in(D)\).
Droite passant par deux points \(A\) et \(B\) (\(A\neq B\)) : on prend \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\) comme vecteur directeur.
Exercice n°1
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(2\,;-1\,;3)\), \(B(0\,;4\,;-2)\), \(C(1\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2})\).
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Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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Étudier la colinéarité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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En déduire si \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
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Calculer les distances \(AB\), \(AC\), \(BC\).
Exercice n°2
Soit \(ABCDEFGH\) un cube. On pose \(\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{k}=\overrightarrow{AE}\).
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Justifier que \((A\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) est un repère de l’espace.
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Donner les coordonnées de chacun des huit sommets dans ce repère.
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Soit \(I\) le milieu de \([FG]\). Donner les coordonnées de \(I\).
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Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{HI}\).
Exercice n°3
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(1\,;2\,;-1)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\).
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Donner une représentation paramétrique de \((D)\).
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Le point \(B(7\,;0\,;3)\) appartient-il à \((D)\) ?
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Trouver les coordonnées du point \(C\) de \((D)\) d’abscisse \(4\).