Barycentre
Table des matières
Barycentre de deux points pondérés
Définition
Soient \((A;\alpha)\) et \((B;\beta)\) deux points pondérés tels que \(\alpha + \beta \neq 0\).
-
Existence et unicité. Il existe un unique point \(G\) vérifiant \(\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}\). Le point \(G\) est appelé barycentre du système \(\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) et l’on note \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\).
-
Position de \(G\). \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BG} = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\overrightarrow{BA}\). Si \(A \neq B\), les points \(A\), \(B\) et \(G\) sont alignés.
Proposition
Soient \((A;\alpha)\) et \((B;\beta)\) deux points pondérés tels que \(\alpha+\beta \neq 0\).
-
Homogénéité. Pour tout \(k \in \mathbb{R}^*\) : \(\mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\} = \mathrm{bar}\{(A;k\alpha),(B;k\beta)\}\).
-
Caractérisation. Pour tout point \(M\) du plan :
\[\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}.\] -
Coordonnées. Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) :
\[x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha+\beta}, \quad y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha+\beta}.\]
Exemple
Soient \(A(2;-5)\) et \(B(4;3)\) deux points dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
-
Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) pour que \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) vérifie \(\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{AB}\).
-
Soit \(G = \mathrm{bar}\{(A;3),(B;6)\}\). Calculer les coordonnées de \(G\).
-
Soit \(G' = \mathrm{bar}\{(A;-2),(B;1)\}\). Calculer les coordonnées de \(G'\).
-
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = 6\).
Application
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan.
-
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que :
\[\|3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = \|-2\overrightarrow{MA} + 6\overrightarrow{MB}\|.\] -
Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) pour que \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) vérifie \(-7\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = 10\overrightarrow{AB}\).
Barycentre de trois points pondérés
Définition
Soient \((A;\alpha)\), \((B;\beta)\) et \((C;\gamma)\) trois points pondérés tels que \(\alpha+\beta+\gamma \neq 0\).
Il existe un unique point \(G\) vérifiant :
\[\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.\]
Le point \(G\) est appelé barycentre du système \(\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}\).
Proposition
Avec les hypothèses précédentes :
-
Position. \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\overrightarrow{AB} + \dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\overrightarrow{AC}\) (et formules analogues à partir de \(B\) et de \(C\)).
-
Homogénéité. Pour tout \(k \in \mathbb{R}^*\) : \(\mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\} = \mathrm{bar}\{(A;k\alpha),(B;k\beta),(C;k\gamma)\}\).
-
Caractérisation. Pour tout point \(M\) du plan :
\[\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \gamma\overrightarrow{MC} = (\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}.\] -
Coordonnées. Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) :
\[x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma}, \quad y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha+\beta+\gamma}.\] -
Associativité. Si \(\alpha+\beta \neq 0\), en posant \(H = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\), on a :
\[\mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\} = \mathrm{bar}\{(H;\alpha+\beta),(C;\gamma)\}.\]
Exemple
Soient \(A(1;4)\), \(B(0;5)\) et \(C(2;-1)\) trois points du plan dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
-
Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) pour que \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}\) vérifie \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).
-
Calculer les coordonnées du point \(G' = \mathrm{bar}\{(A;2),(B;-3),(C;-6)\}\).
-
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = 4\).
Application
Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(K\) le point défini par \(\overrightarrow{BK} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(G = \mathrm{bar}\{(A;3),(B;7),(C;-4)\}\).
-
Vérifier que \(K = \mathrm{bar}\{(B;7),(C;-4)\}\).
-
En déduire que \(G\) est le milieu du segment \([AK]\).
Exercice n°1
\(ABC\) est un triangle. \(G = \mathrm{bar}\{(A;-2),(B;3),(C;3)\}\). Soient \(K\) et \(H\) tels que \(\overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH} = 3\overrightarrow{AC}\), et \(I\) le milieu de \([BC]\).
-
Vérifier que \(K = \mathrm{bar}\{(A;-2),(B;3)\}\) et \(H = \mathrm{bar}\{(A;-2),(C;3)\}\).
-
Montrer que \(G = \mathrm{bar}\{(K;1),(C;3)\}\), \(G = \mathrm{bar}\{(H;1),(B;3)\}\) et \(G = \mathrm{bar}\{(A;-1),(I;3)\}\).
-
En déduire que les droites \((CK)\), \((BH)\) et \((AI)\) sont concourantes en un point que l’on déterminera.
Barycentre de quatre points pondérés
Définition
La définition, l’homogénéité, la caractérisation et l’associativité du barycentre de trois points pondérés se généralisent au barycentre de quatre points pondérés \((A;\alpha)\), \((B;\beta)\), \((C;\gamma)\) et \((D;\lambda)\), lorsque \(\alpha+\beta+\gamma+\lambda \neq 0\).
Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), ses coordonnées sont :
\[x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C + \lambda x_D}{\alpha+\beta+\gamma+\lambda}, \quad y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C + \lambda y_D}{\alpha+\beta+\gamma+\lambda}.\]
Exemple
Construire le barycentre des points \((A;-1)\), \((B;3)\), \((C;-1)\) et \((D;2)\).
Application
Soient \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(4;4)\) et \(D(0;4)\) les sommets d’un carré dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
-
Calculer les coordonnées de \(G = \mathrm{bar}\{(A;1),(B;1),(C;1),(D;1)\}\).
-
Calculer les coordonnées de \(G' = \mathrm{bar}\{(A;1),(B;2),(C;1),(D;2)\}\).
-
Comparer les positions de \(G\) et \(G'\) par rapport au centre du carré.