Série d’exercices

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. Construire le point \(G\) dans chacun des cas :

1. \(G = \mathrm{bar}\{(A; 1), (B; 2)\}\).

2. \(G = \mathrm{bar}\{(A; 3), (B; -1)\}\).

3. \(G = \mathrm{bar}\{(A; -2), (B; 5)\}\).

4. \(G\) milieu de \([AB]\).

Soient \(A(1; 2)\) et \(B(-3; 4)\) deux points dans un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\). Calculer les coordonnées des points :

1. \(G = \mathrm{bar}\{(A; 2), (B; 3)\}\).

2. \(G' = \mathrm{bar}\{(A; -1), (B; 2)\}\).

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) pour que \(G = \mathrm{bar}\{(A; \alpha), (B; \beta)\}\) vérifie :

1. \(\overrightarrow{GA} - 2\overrightarrow{GB} = 3\overrightarrow{AB}\).

2. \(4\overrightarrow{GA} + 5\overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{BA}\).

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan vérifiant :

1. \(\|3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\| = 4\).

2. \(\|2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}\| = \|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\|\).

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan formant un triangle. Construire le point \(G\) dans chacun des cas :

1. \(G = \mathrm{bar}\{(A; 1), (B; 1), (C; 1)\}\) (centre de gravité).

2. \(G = \mathrm{bar}\{(A; 2), (B; 1), (C; 1)\}\).

3. \(G = \mathrm{bar}\{(A; 1), (B; -1), (C; 2)\}\).

4. \(G = \mathrm{bar}\{(A; 3), (B; -2), (C; 2)\}\).

Soient \(A(0; 1)\), \(B(2; 3)\) et \(C(-1; 4)\) trois points du plan dans un repère orthonormé.

1. Calculer les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\).

2. Calculer les coordonnées de \(G' = \mathrm{bar}\{(A; 2), (B; -1), (C; 3)\}\).

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distincts du plan. Déterminer l’ensemble des points \(M\) vérifiant :

1. \(\|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = 8\).

2. \(\|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}\| = \|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\|\).

Soit \(ABC\) un triangle. Soient \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(G\) le centre de gravité de \(ABC\).

1. Montrer que \(G = \mathrm{bar}\{(A; 1), (I; 2)\}\).

2. En déduire que \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\).

Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(D\), \(E\), \(F\) sont définis par \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\).

1. Vérifier que \(D = \mathrm{bar}\{(A; 2), (B; 1)\}\).

2. Montrer que les triangles \(ABC\) et \(DEF\) ont le même centre de gravité.

Soit \(ABC\) un triangle. Soient \(G_1\), \(G_2\), \(G_3\) les barycentres respectifs des systèmes :
\[G_1 = \mathrm{bar}\{(A; 1), (B; 2)\}, \quad G_2 = \mathrm{bar}\{(B; 1), (C; 2)\}, \quad G_3 = \mathrm{bar}\{(C; 1), (A; 2)\}.\]
Montrer que les triangles \(ABC\) et \(G_1 G_2 G_3\) ont le même centre de gravité.

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Construire le point \(G\) tel que \(G = \mathrm{bar}\{(A; 1), (B; 2), (C; -1), (D; 2)\}\).

Calculer les coordonnées de \(G\) dans le repère \((A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})\).

Soit \(ABC\) un triangle et \(G\) son centre de gravité. Soit \(M\) un point quelconque du plan.

1. Montrer que \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}\).

2. En déduire que \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3 MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\). (Indication : développer \(\|\overrightarrow{MA}\|^2 = \|\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\|^2\).)