Série d’exercices

Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) des points du plan. Simplifier les vecteurs suivants en utilisant la relation de Chasles :
\[\overrightarrow{U}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}, \qquad \overrightarrow{V}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{W}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}.\]

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan non alignés. On définit le point \(D\) par :
\[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\]

1. Faire une figure.

2. Montrer que \(ABDC\) est un parallélogramme.

3. Soit \(M\) le milieu de \([BC]\). Montrer que \(M\) est aussi le milieu de \([AD]\).

Soit \(ABC\) un triangle. On considère les points \(M\) et \(N\) définis par :
\[\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.\]

1. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

2. En déduire que les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.

Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(I\) et \(J\) les points définis par :
\[\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.\]
On note \(K\) le milieu de \([IJ]\) et \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

2. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

3. En déduire que les points \(A\), \(K\) et \(G\) sont alignés.

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des segments \([AB]\) et \([DC]\).

1. Faire une figure.

2. Exprimer \(\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{IC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).

3. En déduire que les droites \((AJ)\) et \((IC)\) sont parallèles.

Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(O\) son centre (point d’intersection des diagonales).

1. Justifier que \(O\) est le milieu commun de \([AC]\) et de \([BD]\).

2. Montrer que pour tout point \(M\) du plan :
   \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\,\overrightarrow{MO}.\]

Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs des côtés \([BC]\), \([AC]\), \([AB]\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{AA'}\) et \(\overrightarrow{BB'}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

2. Calculer \(\overrightarrow{A'B'}\) et \(\overrightarrow{A'C'}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

3. Soit \(G\) le centre de gravité de \(ABC\) et \(G'\) le centre de gravité de \(A'B'C'\). Montrer que \(G=G'\).

Soit \(OAB\) un triangle. Le point \(M\) est défini par :
\[\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{OB}.\]

1. Exprimer \(\overrightarrow{AM}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).

2. En déduire la position du point \(M\) par rapport au segment \([AB]\).

Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque, et soient \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) les milieux respectifs des côtés \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\).

1. Faire une figure.

2. En considérant le triangle \(ABC\), montrer que \(\overrightarrow{PQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

3. De la même façon, montrer que \(\overrightarrow{SR}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

4. En déduire que \(PQRS\) est un parallélogramme.

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Varignon.