Calcul vectoriel
Table des matières
Notion de vecteur
Définition
Définition
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan \((P)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par trois données :
-
Une direction : celle de la droite \((AB)\).
-
Un sens : de \(A\) vers \(B\).
-
Une norme (ou longueur) : \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\).
\(A\) est l’origine et \(B\) l’extrémité du vecteur.
Définition
Le vecteur nul, noté \(\overrightarrow{0}\), est défini par \(\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\) pour tout point \(A\). Il n’a ni direction ni sens, et sa norme est nulle.
Exemple
[Figure — voir le PDF]
Égalité et opposition
Définition
Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont :
-
égaux, si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme. On écrit \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).
-
opposés, si et seulement s’ils ont même direction, même norme et des sens opposés. On écrit \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\).
En particulier, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) quatre points du plan deux à deux distincts. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
-
\(ABCD\) est un parallélogramme.
-
Les segments \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.
Pour tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) et tout point \(A\) du plan, il existe un unique point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}\).
Exemple
\(ABDC\) est un parallélogramme : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), et les vecteurs \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{CA}\) sont de sens opposés.
[Figure — voir le PDF]
Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles
Théorème
Relation de Chasles. Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) du plan :
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\]
[Figure — voir le PDF]
Remarque
Cas particulier : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\), donc \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
Exemple
Simplifions \(\overrightarrow{U}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{V}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{FA}\).
\[\begin{align*} \overrightarrow{U} &= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}.\\[1mm] \overrightarrow{V} &= \underbrace{\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB}}_{=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}}\;+\;\underbrace{\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DF}}_{=\overrightarrow{EF}} = \overrightarrow{EF}. \end{align*}\]
Règle du parallélogramme
Théorème
Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) des points du plan. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
-
\(ABDC\) est un parallélogramme.
-
Les segments \([AD]\) et \([BC]\) ont le même milieu.
[Figure — voir le PDF]
Exercice n°1
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan non alignés. On considère deux points \(D\) et \(E\) vérifiant :
\[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.\]
-
Faire une figure.
-
Déterminer la nature du quadrilatère \(EACB\).
Multiplication d’un vecteur par un réel
Définition
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul du plan et \(k\) un réel non nul. Le produit du vecteur \(\overrightarrow{u}\) par \(k\) est le vecteur \(k\overrightarrow{u}\) tel que :
-
\(k\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}\) ont la même direction.
-
\(k\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}\) ont le même sens si \(k>0\), des sens opposés si \(k<0\).
-
\(\|k\overrightarrow{u}\| = |k| \cdot \|\overrightarrow{u}\|\).
Remarque
-
\(k\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) ; \(\ 0\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\) ; \(\ 1\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\) ; \(\ (-1)\cdot\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}\).
-
\(k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\iff (k=0\) ou \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0})\).
Pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) du plan et tous réels \(a\), \(b\) :
\[\begin{align*} a(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) &= a\overrightarrow{u}+a\overrightarrow{v}, & (a+b)\overrightarrow{u} &= a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{u}, \\ a(b\overrightarrow{u}) &= (ab)\overrightarrow{u}, & a(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) &= a\overrightarrow{u}-a\overrightarrow{v}, \\ (a-b)\overrightarrow{u} &= a\overrightarrow{u}-b\overrightarrow{u}. \end{align*}\]
Exemple
Simplifions :
\[\overrightarrow{U} = 2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})-4\!\left(\tfrac{1}{2}\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right) = 2\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v} = 6\overrightarrow{v}.\]
\[\overrightarrow{V} = \tfrac{1}{3}(3\overrightarrow{u}-9\overrightarrow{v})+\tfrac{1}{2}(2\overrightarrow{u}+6\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}+3\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u}.\]
Exercice n°2
Soit \(ABC\) un triangle, \(\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AC}\). Construire le vecteur \(3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}\).
Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel \(k\) tel que :
\[\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\quad\text{ou}\quad \overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}.\]
Remarque
-
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
-
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction.
-
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement s’il existe \(k\in\mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\).
-
Soit \((AB)\) une droite. Un point \(M\) appartient à \((AB)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
-
Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Exemple
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(E\), \(F\) tels que :
\[\overrightarrow{AF}=\tfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{CE}=\tfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\]
Montrer que \(E\), \(F\) et \(B\) sont alignés.
Solution.
De \(\overrightarrow{CE}=\tfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\), on déduit \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{CE}=4\overrightarrow{EC}\).
De \(\overrightarrow{AF}=\tfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}\), on déduit \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
Alors :
\[\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{EC}+\tfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}=4\!\left(\overrightarrow{EC}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=4(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF})=4\overrightarrow{EF}.\]
\(\overrightarrow{BF}\) et \(\overrightarrow{EF}\) sont colinéaires, donc \(E\), \(F\), \(B\) sont alignés.
Exercice n°3
Soit \(ABC\) un triangle, \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{AE}=\tfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=\tfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}\).
-
Faire une figure.
-
Écrire \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
-
Montrer que les droites \((EC)\) et \((BF)\) sont parallèles.
Milieu d’un segment
Soient \(A\), \(B\), \(I\) trois points du plan. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
-
\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).
-
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
-
\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).
Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors pour tout point \(M\) du plan :
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\,\overrightarrow{MI}.\]
Exemple
Démonstration de la dernière propriété.
Soit \(M\) un point quelconque. Par la relation de Chasles :
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MI}.\]
Exercice n°4
Soit \(ABC\) un triangle, et \(E\), \(F\) tels que :
\[\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.\]
Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
Centre de gravité d’un triangle
Définition
Soit \(ABC\) un triangle. Une médiane de \(ABC\) est un segment reliant un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité (ou isobarycentre) du triangle, généralement noté \(G\).
Théorème
Soit \(ABC\) un triangle, et soit \(G\) un point du plan. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).
-
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
-
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\!\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
-
Si \(A'\) est le milieu de \([BC]\), alors \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\).
Si \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\), alors pour tout point \(M\) du plan :
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\,\overrightarrow{MG}.\]
Exemple
Démonstration de la dernière propriété. Par la relation de Chasles, pour tout point \(M\) :
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} =(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}) =3\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{MG}.\]
Exercice n°5
Soit \(ABC\) un triangle, \(G\) son centre de gravité et \(A'\) le milieu de \([BC]\).
-
Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\).
-
En déduire que \(G\) est situé sur la médiane issue de \(A\), aux deux tiers à partir de \(A\).
Exercice n°6
Soit \(ABC\) un triangle, et soient les points \(E\), \(F\), \(H\) définis par :
\[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}.\]
-
Montrer que les triangles \(ABC\) et \(EFH\) ont le même centre de gravité.