Série d’exercices

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur un intervalle approprié :

1. \(f_1(x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}\)

2. \(f_2(x) = (x^2 + 1)^5\)

3. \(f_3(x) = \sqrt{x}\,\sin x + \cos x\)

4. \(f_4(x) = \cos(\sqrt{x})\)

5. \(f_5(x) = \sqrt[3]{x^2 + 2x}\)

6. \(f_6(x) = \tan(2x + 1)\)

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).

2. Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(x_0 = 0\).

3. Étudier la concavité de \((C_f)\) et déterminer son point d’inflexion.

4. Déterminer le ou les point(s) où la tangente à \((C_f)\) est horizontale.

Soit \(f\) définie par \(f(x) = x\sqrt{3 - 2x}\).

1. Donner le domaine de définition \(D_f\).

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).

3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(\dfrac{3}{2}\). Interpréter graphiquement.

4. Montrer que pour tout \(x \in D_f \setminus \left\{\dfrac{3}{2}\right\}\), \(f'(x) = \dfrac{3(1 - x)}{\sqrt{3 - 2x}}\).

5. Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau.

6. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \(]-\infty\,;1]\).

   1. Justifier que \(g\) admet une réciproque \(g^{-1}\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

   2. Étudier la dérivabilité de \(g^{-1}\) sur \(J\) et calculer \((g^{-1})'(0)\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{x^2 + 1}\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)\), et montrer que \((\Delta) : y = x + \dfrac{1}{2}\) est asymptote oblique en \(\pm\infty\).

2. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3. Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(-1\).

4. Montrer que \((C_f)\) admet deux points d’inflexion à déterminer.

5. Justifier que \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

6. Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(0\) et calculer \((f^{-1})'(0)\).

Partie A. Soit \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)\).

2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g'(x) = \dfrac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}\).

3. En déduire que \(g(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Partie B. Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) ; montrer que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -1\) et interpréter.

2. Montrer que \((D) : y = 2x - 1\) est asymptote oblique de \((C_f)\) en \(+\infty\).

3. Montrer que \(f'(x) = g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).

4. Montrer que \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) sur un intervalle \(J\) à préciser.

Soit \(f\) définie par \(f(x) = 1 - \sqrt{x^2 + 2x}\).

1. Déterminer \(D_f\).

2. Montrer que la droite \(x = -1\) est un axe de symétrie de \((C_f)\). En déduire le domaine d’étude.

3. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

4. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\). Interpréter.

5. Montrer que \(y = -x\) est asymptote oblique de \((C_f)\) en \(+\infty\).

6. Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau.

7. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [0\,;+\infty[\) et que \(0 < \alpha < 1\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)\) et étudier les branches infinies.

2. Montrer que \(\Omega(1\,;-1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).

3. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe, et dresser le tableau de variations.

4. Montrer que \(\Omega\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).

5. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([2\,;+\infty[\).

   1. Montrer que \(g\) admet une réciproque \(g^{-1}\) sur \(J\) à déterminer.

   2. Montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(1\) et calculer \((g^{-1})'(1)\).

Soit \(f\) définie par \(f(x) = x - \sqrt{2x - 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et préciser la nature de la branche infinie.

3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(\dfrac{1}{2}\). Interpréter graphiquement.

4. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) et que le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x - 1\).

5. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).

6. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([1\,;+\infty[\). Montrer que \(g\) admet une réciproque \(g^{-1}\) sur \(J\) à préciser et calculer \((g^{-1})'(2)\).

Soit \(f\) définie par
\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 3}{x + 1} & \text{si } x \leq 0 \\[0.2em] -\dfrac{\sqrt{x + 1}}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}\]

1. Déterminer \(D_f\) et calculer les limites de \(f\) aux bornes.

2. Étudier les branches infinies.

3. \(f\) est-elle continue en \(0\) ?

4. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) et interpréter graphiquement.

5. Sur chaque morceau, calculer \(f'(x)\), étudier son signe, et dresser le tableau de variations.

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 + x + 1\).

1. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. En déduire que \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

3. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).

4. Sans déterminer l’expression de \(f^{-1}\), calculer \((f^{-1})'(1)\) et \((f^{-1})'(3)\).