Série d’exercices

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = \dfrac{5}{4}\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{3}{2}\).

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n < 2\), puis étudier la monotonie de \((u_n)\). Conclure quant à la convergence.

2. On pose \(v_n = u_n - 2\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(\lim u_n\).

3. Soit \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\). Montrer que \(S_n = 2n - 1 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\). En déduire \(\lim S_n\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{5 - u_n}\).

1. Vérifier que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} - 3 = \dfrac{4(u_n - 3)}{5 - u_n}\), puis montrer par récurrence que \(u_n < 3\).

2. On pose \(v_n = \dfrac{u_n - 1}{3 - u_n}\).

   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

   2. Montrer que \(u_n = \dfrac{1 + 3 v_n}{1 + v_n}\), puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

   3. Calculer \(\lim u_n\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{6u_n}{1 + 15u_n}\).

1. Vérifier que \(u_{n+1} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{u_n - \tfrac{1}{3}}{1 + 15u_n}\), puis montrer par récurrence que \(u_n > \dfrac{1}{3}\).

2. Soit \(v_n = 1 - \dfrac{1}{3u_n}\).

   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{6}\) et exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

   2. Montrer que \(u_n = \dfrac{1}{3 - 2 \left(\tfrac{1}{6}\right)^n}\), puis calculer \(\lim u_n\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = \dfrac{3}{2}\) et \(u_{n+1} = \dfrac{2 u_n}{2 u_n + 5}\).

1. Calculer \(u_1\) et montrer par récurrence que \(u_n > 0\).

2. Montrer que \(0 < u_{n+1} \leq \dfrac{2}{5} u_n\), puis en déduire \(0 < u_n \leq \dfrac{3}{2}\!\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\). Calculer \(\lim u_n\).

3. Soit \(v_n = \dfrac{4 u_n}{2 u_n + 3}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{5}\). Exprimer \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = \dfrac{1}{3}\) et \(u_{n+1} = \dfrac{2 u_n}{u_n + 1}\).

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 1\).

2. Étudier la monotonie de \((u_n)\) et en déduire que \(u_n \geq \dfrac{1}{3}\) et que la suite converge.

3. Montrer que \(1 - u_{n+1} \leq \dfrac{3}{4}(1 - u_n)\), puis \(1 - u_n \leq \dfrac{2}{3}\!\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\). Calculer \(\lim u_n\).

4. Soit \(v_n = \dfrac{1 - u_n}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), et retrouver \(\lim u_n\).

Soit \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\).

1. Montrer que pour tout \(x \geq 0\), \(f(x) \leq x\).

2. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\) et en déduire \(f(\mathbb{R}^+) = [0\,;1[\).

3. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

   1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leq u_n < 1\).

   2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante. Conclure quant à la convergence et déterminer la limite.

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{2 u_n + 3}{u_n + 2}\).

1. Montrer par récurrence que \((u_n)\) est strictement croissante et majorée par \(2\). En déduire la convergence et calculer la limite.

2. Soit \(v_n = \dfrac{u_n - \sqrt{3}}{u_n + \sqrt{3}}\).

   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique. Préciser raison et premier terme.

   2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis retrouver \(\lim u_n\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[u_{n+2} = \dfrac{7}{3} u_{n+1} - \dfrac{2}{3} u_n.\]
On pose \(v_n = u_{n+1} - 2 u_n\) et \(w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{3} u_n\).

1. Calculer \(v_0\) et \(w_0\).

2. Montrer que \((v_n)\) et \((w_n)\) sont géométriques de raisons respectives \(\dfrac{1}{3}\) et \(2\).

3. Exprimer \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(n\), puis \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(\lim u_n\).

Soit \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x} - 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).

2. Montrer que pour tout \(x \in D_f\), \(f'(x) = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2(\sqrt{x} - 1)^2}\). Dresser le tableau de variations.

3. Montrer que pour tout \(x \in D_f\), \(f(x) - x = \dfrac{x(4 - x)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}\). En déduire que pour tout \(x \in [4\,;+\infty[\), \(f(x) \leq x\).

4. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 9\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

   1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n > 4\).

   2. Étudier la monotonie de \((u_n)\) et conclure quant à la convergence. Déterminer la limite.

Soit \(f\) définie sur \([0\,;4]\) par \(f(x) = \left(\dfrac{4 \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}\right)^2\).

1. Étudier les variations de \(f\) sur \([0\,;4]\) et montrer que \(f([0\,;4]) \subset [0\,;4]\).

2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

   1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leq u_n \leq 4\).

   2. Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante, et en déduire qu’elle converge.

3. Soit \(v_n = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{u_n}}\).

   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).

   2. Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

   3. Calculer \(\lim u_n\).