Table des matières
Dérivation
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Nombre dérivé
Approche : taux de variation
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) contenant \(x_0\). Le taux d’accroissement de \(f\) entre \(x_0\) et \(x_0 + h\) (avec \(x_0 + h \in I\), \(h \neq 0\)) est :
\[\tau(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.\]
Nombre dérivé
Définition
On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) s’il existe un nombre réel \(\ell\) tel que :
\[\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \ell.\]
Ce nombre \(\ell\) est appelé le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\), noté \(f'(x_0)\).
De manière équivalente, en posant \(x = x_0 + h\) :
\[f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.\]
Interprétation géométrique : tangente
Théorème
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet en son point \(A(x_0, f(x_0))\) une tangente dont le coefficient directeur est \(f'(x_0)\). Son équation est :
\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).\]
Exemple
Soit \(f(x) = x^2\) en \(x_0 = 3\).
\[\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \xrightarrow[h \to 0]{} 6.\]
Donc \(f'(3) = 6\). Tangente en \((3, 9)\) : \(y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9\).
Approche affine au voisinage d’un point
Proposition
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors au voisinage de \(x_0\) :
\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).\]
La fonction affine \(x \mapsto f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) est la meilleure approximation affine de \(f\) près de \(x_0\).
Dérivabilité à gauche et à droite
Définition
On note :
\[f'_d(x_0) = \lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \quad ; \quad f'_g(x_0) = \lim\limits_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.\]
\(f\) est dérivable en \(x_0\) ssi \(f'_g(x_0) = f'_d(x_0)\).
Exemple
Soit \(f(x) = |x|\) en \(x_0 = 0\).
\(f'_d(0) = \lim\limits_{h \to 0^+} \dfrac{|h|}{h} = 1\), \(f'_g(0) = \lim\limits_{h \to 0^-} \dfrac{|h|}{h} = -1\).
Les deux dérivées latérales sont différentes : \(|x|\) n’est pas dérivable en \(0\). Le point \((0,0)\) est un point anguleux de \(\mathcal{C}_f\).
Fonction dérivée
Définition
Définition
\(f\) est dite dérivable sur un intervalle \(I\) si \(f\) est dérivable en chaque point de \(I\). La fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\), est l’application \(x \mapsto f'(x)\) définie sur \(I\).
Dérivées des fonctions de référence
Théorème
Les fonctions usuelles sont dérivables sur l’intervalle indiqué, et :
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(c\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(n x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) | \(-\dfrac{n}{x^{n+1}}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0, +\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | \(1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2} + k\pi \,;\, k \in \Z\right\}\) |
Démonstration
Cas \(f(x) = x^2\). \(\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2x\). Donc \(f'(x) = 2x\).
Cas \(f(x) = \sqrt{x}\) sur \(]0, +\infty[\). On utilise la quantité conjuguée :
\[\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{(x+h) - x}{h (\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt{x}}.\]
Cas \(f(x) = \sin x\). Avec la formule \(\sin(x+h) - \sin x = 2 \sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right) \cos\!\left(x + \dfrac{h}{2}\right)\) :
\[\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \cos\!\left(x + \dfrac{h}{2}\right) \xrightarrow[h \to 0]{} 1 \cdot \cos x = \cos x.\]
\(\square\)
Opérations sur les dérivées
Théorème
Soient \(u, v\) dérivables sur \(I\), \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u + v\) | \(u' + v'\) |
| \(\lambda u\) | \(\lambda u'\) |
| \(u v\) | \(u' v + u v'\) |
| \(\dfrac{1}{v}\) (si \(v \neq 0\)) | \(-\dfrac{v'}{v^2}\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) (si \(v \neq 0\)) | \(\dfrac{u' v - u v'}{v^2}\) |
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(n u^{n-1} u'\) |
| \(\sqrt{u}\) (si \(u > 0\)) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
Démonstration
Dérivée d’un produit \(uv\).
\[\frac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x)}{h} = \frac{u(x+h) - u(x)}{h} v(x+h) + u(x) \frac{v(x+h) - v(x)}{h}.\]
Quand \(h \to 0\) : \(u(x+h) \to u(x)\) (car \(u\) continue car dérivable), \(\frac{u(x+h)-u(x)}{h} \to u'(x)\), \(\frac{v(x+h)-v(x)}{h} \to v'(x)\).
Limite : \(u'(x) v(x) + u(x) v'(x)\). \(\square\)
Dérivée d’une composée
Théorème
Soient \(f\) dérivable sur \(I\) et \(g\) dérivable sur \(J \supset f(I)\). Alors \(g \circ f\) est dérivable sur \(I\), et :
\[(g \circ f)'(x) = f'(x) \cdot g'(f(x)).\]
Exemple
Soit \(h(x) = \sin(3x^2 + 1)\). Posons \(u(x) = 3x^2 + 1\) et \(v(t) = \sin t\). Alors \(h = v \circ u\), et :
\[h'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x)) = 6x \cdot \cos(3x^2 + 1).\]
Proposition
Cas particuliers fréquents :
\[(\sin(ax + b))' = a \cos(ax + b) \quad ; \quad (\cos(ax + b))' = -a \sin(ax + b).\]
\[\bigl(u(x)^n\bigr)' = n u'(x) u(x)^{n-1} \quad ; \quad \bigl(\sqrt{u(x)}\bigr)' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.\]
Applications de la dérivation
Sens de variation
Théorème
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).
-
Si \(f'(x) \geq 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\).
-
Si \(f'(x) \geq 0\) sur \(I\) et \(f'\) ne s’annule qu’en un nombre fini de points, alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
-
Si \(f'(x) \leq 0\) sur \(I\), \(f\) est décroissante sur \(I\) ; si en plus \(f'\) ne s’annule qu’en un nombre fini de points, \(f\) est strictement décroissante.
-
Si \(f'(x) = 0\) sur \(I\), \(f\) est constante sur \(I\).
Méthode
Pour étudier les variations de \(f\) :
-
Déterminer \(\mathcal{D}_f\) et le domaine de dérivabilité.
-
Calculer \(f'(x)\).
-
Étudier le signe de \(f'(x)\).
-
Dresser le tableau de variations.
Exemple
Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 2\).
Extrémums locaux
Théorème
Soit \(f\) dérivable sur \(I\) et \(x_0\) intérieur à \(I\).
Si \(f\) admet un extremum local en \(x_0\), alors \(f'(x_0) = 0\).
Attention : la réciproque est fausse en général (cf. \(f(x) = x^3\), \(f'(0) = 0\) sans extremum).
Condition suffisante : si \(f'(x_0) = 0\) et \(f'\) change de signe en \(x_0\), alors \(f\) admet un extremum en \(x_0\).
Tangente horizontale et tangente verticale
Remarque
\(\bullet\) Si \(f'(x_0) = 0\) : la tangente en \((x_0, f(x_0))\) est horizontale.
\(\bullet\) Si \(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \pm \infty\) : la tangente est verticale en \(x_0\).
Limites par reconnaissance d’un nombre dérivé
Méthode
On peut parfois utiliser la définition de la dérivée pour calculer une limite. Si \(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \ell\), alors \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0) = \ell\).
Réciproquement, certaines limites se reconnaissent comme des nombres dérivés.
Exemple
Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x}\).
Synthèse
Récapitulatif
| Notion | Définition / formule |
|---|---|
| Nombre dérivé | \(f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) |
| Tangente en \(x_0\) | \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\) |
| Approximation affine | \(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) |
| Dérivée de \(u + v\) | \(u' + v'\) |
| Dérivée de \(uv\) | \(u'v + uv'\) |
| Dérivée de \(u/v\) | \((u'v - uv')/v^2\) |
| Dérivée de \(g \circ f\) | \(f'(x) \cdot g'(f(x))\) |
| Dérivée de \(u^n\) | \(n u^{n-1} u'\) |
| Dérivée de \(\sqrt{u}\) | \(u'/(2\sqrt{u})\) |
| Monotonie | \(f' \geq 0 \Rightarrow f\) croissante |
| Extrémum local | \(f'(x_0) = 0\) et \(f'\) change de signe en \(x_0\) |
Pièges classiques
Remarque
-
Confondre dérivée et fonction. \(f'\) est une fonction, pas une valeur.
-
Dérivée de \(\sqrt{u}\) sans \(u > 0\). La formule exige strictement \(u > 0\).
-
Dériver une composée sans \(g'(f(x))\). Erreur courante : oublier de « remettre \(f(x)\) » dans \(g'\).
-
Réciproque du critère d’extremum. \(f'(x_0) = 0\) n’implique pas extremum (cf. \(x^3\)).
-
Confondre \(f'(x_0)\) et la valeur de la fonction \(f\).
Fin du chapitre 1 – Dérivation