Série d’exercices

Calculer \(f'(x_0)\) en utilisant la définition \(f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\).

1. \(f(x) = 3 x^2 - 5x\), en \(x_0 = 2\).

2. \(f(x) = \dfrac{1}{x}\), en \(x_0 = -1\).

3. \(f(x) = \sqrt{x}\), en \(x_0 = 4\).

4. \(f(x) = \sqrt{2x + 1}\), en \(x_0 = 4\).

Pour chaque fonction, déterminer l’équation de la tangente au point indiqué.

1. \(f(x) = x^3 + 2x - 1\), en \(x_0 = 1\).

2. \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}\), en \(x_0 = 0\).

3. \(f(x) = \sqrt{x^2 + 5}\), en \(x_0 = 2\).

4. \(f(x) = \sin(2x)\), en \(x_0 = \dfrac{\pi}{6}\).

Étudier la dérivabilité aux points indiqués.

1. \(f(x) = |x - 1|\) en \(x_0 = 1\).

2. \(f(x) = \sqrt{x}\) en \(x_0 = 0\) (à droite).

3. \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}\) en \(x_0 = 1\).

4. \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) en \(x_0 = 0\). La tangente est-elle verticale ?

Calculer \(f'(x)\) et préciser \(\mathcal{D}_{f'}\) :

1. \(f(x) = 4 x^5 - 3 x^3 + 2x - 7\).

2. \(f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)\).

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}\).

4. \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1}\).

5. \(f(x) = \dfrac{1}{x^3 + 1}\).

6. \(f(x) = \dfrac{x^2 + x}{(x + 1)^2}\).

Calculer \(f'(x)\).

1. \(f(x) = (3 x + 5)^4\).

2. \(f(x) = (x^2 - 2x + 1)^7\).

3. \(f(x) = \sqrt{x^2 + 3 x}\).

4. \(f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{x}}\).

5. \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}\).

6. \(f(x) = \sin^3(2x)\).

7. \(f(x) = \cos(x^2 + 1)\).

8. \(f(x) = \tan(3x - 1)\).

Étudier les variations et tracer le tableau de variations.

1. \(f(x) = x^3 - 6 x^2 + 9 x - 1\).

2. \(f(x) = 2 x^4 - 4 x^2 + 3\).

3. \(f(x) = -x^3 + 3 x^2 - 4\).

Étudier les variations sur \(\mathcal{D}_f\).

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 1}\).

2. \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\).

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}\).

1. \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\) sur \(]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[\).

2. \(f(x) = x \sqrt{4 - x^2}\) sur \([-2, 2]\).

3. \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) sur \(\mathbb{R}\).

Étudier les variations sur l’intervalle indiqué.

1. \(f(x) = \sin x - x\) sur \(\mathbb{R}\).

2. \(f(x) = 2 \sin x + \cos(2x)\) sur \([0, 2\pi]\).

3. \(f(x) = \dfrac{1}{2} \sin(2x) + \cos x\) sur \([0, \pi]\).

Pour chaque fonction, déterminer les extrémums (locaux et absolus) sur l’intervalle indiqué.

1. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) sur \([-1, 4]\).

2. \(f(x) = x + \dfrac{4}{x}\) sur \(]0, +\infty[\).

3. \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).

On veut clôturer un terrain rectangulaire de surface \(S = 100\) m². On dispose d’une longueur totale de grillage à minimiser.

1. Exprimer la longueur \(L\) du grillage en fonction d’un seul paramètre.

2. Trouver les dimensions optimales pour minimiser \(L\). Quelle est la longueur minimale ?

Un cylindre droit a un volume \(V = 1\) litre. On veut minimiser sa surface totale (deux disques + côté).

1. Exprimer la surface \(S\) en fonction du rayon \(r\) uniquement.

2. Étudier \(S(r)\) sur \(]0, +\infty[\).

3. Trouver le rayon optimal.

Calculer en reconnaissant un nombre dérivé :

1. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}\).

2. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^5 - 1}{x}\).

3. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{10} - 1}{x - 1}\).

4. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + 3x} - 1}{x}\).

5. \(\lim\limits_{x \to \pi/3} \dfrac{\cos x - 1/2}{x - \pi/3}\).

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x - 1}\).

1. Déterminer \(\mathcal{D}_f\).

2. Montrer que \(f(x) = (x + 2) + \dfrac{1}{x - 1}\).

3. Étudier les variations de \(f\).

4. Calculer les limites aux bornes du domaine.

5. Donner l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(x_0 = 2\).

6. Tracer le tableau de variations complet.