Série d’exercices

Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), on donne les points \(A(1\,;2)\), \(B(3\,;5)\), \(C(7\,;5)\), \(D(5\,;2)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\).

2. Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.

3. Soit \(I\) le milieu de \([AC]\) et \(J\) le milieu de \([BD]\). Calculer les coordonnées de \(I\) et \(J\). Que constate-t-on ?

Étudier la colinéarité des couples de vecteurs suivants :
\[\text{(a)}\ \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix},\ \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}; \quad \text{(b)}\ \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix},\ \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}; \quad \text{(c)}\ \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\ \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}.\]

Soit \((D):3x-2y+5=0\).

1. Donner un vecteur directeur de \((D)\).

2. Le point \(A(1\,;4)\) appartient-il à \((D)\) ? Justifier.

3. Trouver un point \(B\) de \((D)\) distinct de \(A\).

4. Donner une représentation paramétrique de \((D)\).

Soit \((D)\) la droite passant par \(A(2\,;-1)\) et \(B(-1\,;5)\).

1. Déterminer un vecteur directeur de \((D)\).

2. Donner une représentation paramétrique de \((D)\).

3. En déduire une équation cartésienne de \((D)\).

4. Donner l’équation réduite de \((D)\).

Étudier la position relative des couples de droites suivants. En cas d’intersection, en donner les coordonnées :

1. \((D_{1}):2x-y+3=0\) et \((D_{2}):4x-2y-5=0\).

2. \((D_{3}):x+2y-1=0\) et \((D_{4}):3x-y+4=0\).

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle \(ABC\) avec \(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;0)\), \(C(1\,;6)\).

1. Calculer les distances \(AB\), \(BC\), \(AC\).

2. Déterminer la nature précise du triangle \(ABC\).

3. Calculer les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle.

Soit \((D)\) la droite passant par \(A(1\,;3)\) et de coefficient directeur \(2\).

1. Déterminer l’équation réduite de \((D)\).

2. Soit \((D')\) la droite parallèle à \((D)\) passant par \(B(-2\,;4)\). Déterminer son équation réduite.

3. Étudier la position relative de \((D)\) et de la droite \((\Delta):4x-2y+5=0\).

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;1)\), \(B(5\,;2)\), \(C(6\,;6)\), \(D(2\,;5)\).

1. Calculer les longueurs \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).

2. Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.

3. Quelle est sa nature précise ?

Soit \((D_{m})\) la droite d’équation \((m-1)x+(2m+1)y-3=0\), où \(m\) est un paramètre réel.

1. Pour quelle valeur de \(m\) la droite \((D_{m})\) est-elle parallèle à la droite \((\Delta):2x+y+1=0\) ?

2. Pour quelle valeur de \(m\) la droite \((D_{m})\) passe-t-elle par le point \(E(1\,;1)\) ?