Droite dans le plan
Table des matières
Repère du plan
Définition d’un repère
Définition
Soient \(O\) un point du plan et \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) deux vecteurs non colinéaires.
Le triplet \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est appelé un repère du plan.
-
\(O\) est l’origine du repère.
-
\((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est la base du repère.
Définition
Le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est dit :
-
orthogonal si \(\overrightarrow{i}\perp\overrightarrow{j}\).
-
normé si \(\|\overrightarrow{i}\|=\|\overrightarrow{j}\|=1\).
-
orthonormé s’il est à la fois orthogonal et normé.
Coordonnées d’un point
Définition
Soit \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) un repère du plan et \(M\) un point du plan.
Il existe un unique couple \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) tel que :
\[\overrightarrow{OM}=x\,\overrightarrow{i}+y\,\overrightarrow{j}.\]
Le couple \((x,y)\) est appelé coordonnées du point \(M\) dans le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) :
-
\(x\) est l’abscisse de \(M\).
-
\(y\) est l’ordonnée de \(M\).
On note \(M(x\,;y)\) ou \(M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).
Coordonnées d’un vecteur
Définition
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan. Dans le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), il existe un unique couple \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) tel que :
\[\overrightarrow{u}=x\,\overrightarrow{i}+y\,\overrightarrow{j}.\]
Le couple \((x,y)\) est appelé coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\). On note \(\overrightarrow{u}(x\,;y)\) ou \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).
Soient \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\) deux points du plan. Alors :
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}\\ y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}.\]
Exemple
Soient \(A(2\,;-1)\) et \(B(5\,;3)\).
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-2\\ 3-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}.\]
Opérations en coordonnées
Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\) deux vecteurs et \(k\in\mathbb{R}\).
-
\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x+x'\\ y+y'\end{pmatrix}\).
-
\(k\,\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}kx\\ ky\end{pmatrix}\).
-
\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff x=x'\) et \(y=y'\).
Exemple
Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}\).
\[\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}, \qquad 3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}3\times 2-2\times 1\\ 3\times(-3)-2\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ -17\end{pmatrix}.\]
Colinéarité et milieu
Colinéarité de deux vecteurs
Théorème
Critère du déterminant.
Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\) deux vecteurs du plan.
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si :
\[\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-yx'=0.\]
Remarque
On note souvent : \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\begin{vmatrix}x & x'\\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx'\).
Exemple
Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-4\\ -6\end{pmatrix}\).
\[\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=2\times(-6)-3\times(-4)=-12+12=0.\]
Donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires. (On vérifie : \(\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}\).)
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c’est-à-dire :
\[\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0.\]
Exemple
Les points \(A(1\,;2)\), \(B(3\,;5)\), \(C(7\,;11)\) sont-ils alignés ?
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\ 9\end{pmatrix},\qquad \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\times 9-3\times 6=18-18=0.\]
Donc \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
Coordonnées du milieu d’un segment
Soient \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\) deux points du plan.
Les coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\) sont :
\[I\!\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\,;\,\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).\]
Exemple
Le milieu de \([AB]\) avec \(A(2\,;-3)\) et \(B(6\,;5)\) a pour coordonnées :
\[I\!\left(\dfrac{2+6}{2}\,;\,\dfrac{-3+5}{2}\right)=I(4\,;1).\]
Norme et distance (repère orthonormé)
Théorème
Dans un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), si \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\), alors :
\[\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\]
Dans un repère orthonormé, si \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\), alors :
\[AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.\]
Exemple
Soient \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;6)\) dans un repère orthonormé.
\[AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.\]
Équations d’une droite
Vecteur directeur d’une droite
Définition
Soit \((D)\) une droite du plan passant par deux points distincts \(A\) et \(B\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est appelé un vecteur directeur de la droite \((D)\).
Plus généralement, tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) non nul et colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \((D)\).
Un point \(M\) appartient à la droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires.
Équation cartésienne
Théorème
Soit \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) un repère du plan.
Toute droite \((D)\) du plan admet une équation de la forme :
\[ax+by+c=0,\]
où \((a,b)\neq (0,0)\). Cette équation est appelée une équation cartésienne de la droite \((D)\).
Réciproquement, l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) vérifiant \(ax+by+c=0\) avec \((a,b)\neq(0,0)\) est une droite du plan.
Si \((D)\) admet pour équation cartésienne \(ax+by+c=0\), alors un vecteur directeur de \((D)\) est :
\[\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix}.\]
Exemple
La droite d’équation \(2x-3y+6=0\) admet \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\) pour vecteur directeur.
Vérification : le point \(A(0\,;2)\) appartient à \((D)\) (car \(0-6+6=0\)). Si \(M(x\,;y)\in(D)\), alors \(\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}x\\ y-2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\) sont colinéaires :
\[\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})=2x-3(y-2)=2x-3y+6=0. \quad\checkmark\]
Équation paramétrique
Théorème
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(x_{A}\,;y_{A})\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix}\).
Un point \(M(x\,;y)\) appartient à \((D)\) si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :
\[\begin{cases} x=x_{A}+t\,\alpha \\ y=y_{A}+t\,\beta \end{cases} \qquad (t\in\mathbb{R}).\]
Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite \((D)\).
Exemple
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(1\,;-2)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}\).
Représentation paramétrique :
\[(D):\begin{cases}x=1+2t\\ y=-2+3t\end{cases}\quad (t\in\mathbb{R}).\]
Pour obtenir une équation cartésienne, on élimine \(t\) : \(t=\dfrac{x-1}{2}\) et \(y=-2+3\cdot\dfrac{x-1}{2}\), d’où :
\[2y=-4+3(x-1) \iff 3x-2y-7=0.\]
Coefficient directeur et équation réduite
Définition
Soit \((D)\) une droite non verticale (c’est-à-dire non parallèle à l’axe des ordonnées).
Si \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((D)\) (avec \(\alpha\neq 0\)), on appelle coefficient directeur (ou pente) de \((D)\) le réel :
\[m=\dfrac{\beta}{\alpha}.\]
Théorème
Toute droite \((D)\) non verticale admet une équation de la forme :
\[y=mx+p,\]
où \(m\) est le coefficient directeur et \(p\) l’ordonnée à l’origine. Cette équation est appelée équation réduite de \((D)\).
Remarque
-
Toute droite verticale a une équation de la forme \(x=k\) (où \(k\in\mathbb{R}\)). Elle n’admet pas d’équation réduite.
-
Toute droite horizontale a une équation de la forme \(y=k\), soit \(m=0\).
Exemple
La droite d’équation cartésienne \(2x-3y+6=0\) se met sous forme réduite :
\[3y=2x+6 \iff y=\dfrac{2}{3}x+2.\]
Coefficient directeur : \(m=\dfrac{2}{3}\) ; ordonnée à l’origine : \(p=2\).
Droite passant par deux points
Soient \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\) deux points distincts du plan tels que \(x_{A}\neq x_{B}\).
La droite \((AB)\) a pour coefficient directeur :
\[m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}.\]
Exemple
Soient \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;8)\). Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est :
\[m=\dfrac{8-2}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2.\]
L’équation réduite est de la forme \(y=2x+p\). Comme \(A(1\,;2)\in(AB)\) : \(2=2\times 1+p\Rightarrow p=0\).
Donc \((AB)\) a pour équation : \(y=2x\).
Position relative de deux droites
Théorème
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites du plan, de vecteurs directeurs respectifs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\). Alors :
-
\((D)\) et \((D')\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) sont colinéaires.
-
\((D)\) et \((D')\) sont sécantes si et seulement si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) ne sont pas colinéaires.
Soient \((D):ax+by+c=0\) et \((D'):a'x+b'y+c'=0\) deux droites.
-
\((D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0\).
-
\((D)\) et \((D')\) sécantes \(\iff ab'-a'b\neq 0\).
Pour les équations réduites \((D):y=mx+p\) et \((D'):y=m'x+p'\) :
-
\((D)\parallel(D')\iff m=m'\).
-
\((D)=(D')\iff m=m'\) et \(p=p'\).
Exemple
Étudier la position relative de \((D):2x-3y+1=0\) et \((D'):4x-6y+5=0\).
\[\det\!\begin{pmatrix}2 & 4\\ -3 & -6\end{pmatrix}=2\times(-6)-(-3)\times 4=-12+12=0.\]
Donc \((D)\parallel(D')\). Comme \(1\neq 5\) (à un facteur près), les droites sont strictement parallèles (distinctes).
Exemple
Déterminer le point d’intersection de \((D):x+y-3=0\) et \((D'):2x-y-3=0\).
On résout le système :
\[\begin{cases}x+y=3\\ 2x-y=3\end{cases}\quad\Rightarrow\quad 3x=6\Rightarrow x=2,\quad y=1.\]
Le point d’intersection est \(I(2\,;1)\).
Vérification : \(2+1-3=0\) et \(2\times 2-1-3=0\).
Exercice n°1
Dans un repère orthonormé, on donne les points \(A(-1\,;3)\), \(B(5\,;1)\), \(C(2\,;-3)\).
-
Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
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Calculer la distance \(AB\).
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Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
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Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
Exercice n°2
Soient \((D_{1}):3x-2y+1=0\) et \((D_{2}):6x-4y-5=0\).
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Donner un vecteur directeur de chacune de ces droites.
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Étudier la position relative de \((D_{1})\) et \((D_{2})\).
Exercice n°3
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1\\ 3\end{pmatrix}\).
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Donner une représentation paramétrique de \((D)\).
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En déduire une équation cartésienne de \((D)\).
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Le point \(B(0\,;5)\) appartient-il à \((D)\) ?