Série d’exercices

Pour chacun des polynômes suivants, donner le degré et le coefficient dominant :

1. \(P(x)=3x^{4}-2x^{3}+x-7\)

2. \(Q(x)=-5x^{2}+x^{5}-1\)

3. \(R(x)=(2x-1)(x^{2}+3)\)

4. \(S(x)=(x+1)^{3}-x^{3}\)

Déterminer les réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[a(x-1)(x+2)+b\,x(x+2)+c\,x(x-1)=3x^{2}-x+4.\]

Soit \(P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6\).

1. Vérifier que \(1\) est une racine de \(P\).

2. En utilisant la méthode de Hörner (ou division euclidienne), factoriser \(P(x)\) par \((x-1)\).

3. Résoudre l’équation \(P(x)=0\).

4. Étudier le signe de \(P(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

Effectuer la division euclidienne de chacun des polynômes suivants :

1. \(P(x)=2x^{3}-3x^{2}+x+5\) par \(D(x)=x-1\).

2. \(P(x)=x^{4}+x^{2}-2x+3\) par \(D(x)=x+1\).

3. \(P(x)=3x^{3}-2x+1\) par \(D(x)=x-2\).

Soit \(P(x)=x^{3}+m\,x^{2}-2x+(m-1)\), où \(m\) est un paramètre réel.

1. Déterminer \(m\) pour que \(1\) soit une racine de \(P\).

2. Pour la valeur de \(m\) trouvée, factoriser \(P(x)\) et résoudre \(P(x)=0\).

On considère le polynôme \(P(x)=2x^{3}+x^{2}-5x+2\).

1. Vérifier que \(P\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=0\).

2. Montrer que \(P(x)=(2x-1)\,Q(x)\) où \(Q\) est un polynôme à déterminer.

3. Résoudre \(P(x)=0\).

Soient \(P(x)=x^{3}-7x+6\) et \(Q(x)=x^{3}+x^{2}-4x-4\).

1. Montrer que \(P\) et \(Q\) admettent \(-1\) comme racine commune ? Si non, trouver une racine commune.

2. Factoriser \(P(x)\) et \(Q(x)\).

3. Résoudre \(P(x)=Q(x)\).

Soit \(P\) un polynôme tel que :
\[P(x)=x^{4}-5x^{2}+4.\]

1. Poser \(X=x^{2}\) et résoudre \(X^{2}-5X+4=0\).

2. En déduire toutes les racines réelles de \(P\).

3. Factoriser \(P(x)\) en produit de polynômes de degré \(1\).