Série d’exercices

Résoudre les équations différentielles, puis trouver la solution vérifiant la condition donnée :

1. \(y' = 3y\) et \(y(0) = 5\).

2. \(y' + 5y = 0\) et \(y(\ln 2) = 4\).

3. \(3y' - 2y = 0\) et \(y(3) = -1\).

4. Soit \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(f' + 2f = 0\) et \(f(\ln 3) = 6\). Déterminer \(f\), puis calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

1. Résoudre \((E_1) : y' = 3y + 2\) et trouver la solution \(g_1\) telle que \(g_1(-1) = \dfrac{1}{3}\).

2. Résoudre \((E_2) : y' + 2y - 4 = 0\) et trouver la solution dont la courbe passe par \(A(-\ln 2\,;6)\).

3. Résoudre \((E_3) : y' - 4y = 0\). Soit \(h\) une solution telle que \(h(0) = 1\) et \(h(1) = e^4 - 5\). Cette condition est-elle compatible ? (discuter)

Partie A — Refroidissement. La température \(T(t)\) d’un corps placé dans un milieu de température constante \(T_0 = 20\,^\circ\)C suit la loi de Newton : \(T'(t) = -k\,(T(t) - T_0)\) avec \(k > 0\), \(T(0) = 80\).

1. Réécrire l’équation sous la forme \(T' = aT + b\) et résoudre.

2. Avec \(k = 0{,}1\) (en min\(^{-1}\)), donner \(T(t)\) et calculer \(T(10)\). Au bout de combien de temps \(T = 25\,^\circ\)C ?

Partie B — Cuve. La quantité \(y(t)\) de soluté (en kg) à l’instant \(t\) (en h) vérifie : \(y'(t) = -0{,}5\,y(t) + 4\), \(y(0) = 2\).

1. Résoudre cette équation différentielle.

2. Calculer \(\lim\limits_{t \to +\infty} y(t)\) ; interpréter physiquement.

3. À quel instant \(t_0\) a-t-on \(y(t_0) = 6\) ?

1. Résoudre \((E_1) : y'' - 3y' + 2y = 0\).

2. Résoudre \((E_2) : y'' - 5y' + 6y = 0\), puis trouver la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 2\).

3. Résoudre \((E_3) : y'' - y' - 6y = 0\), puis trouver la solution telle que \(y(0) = 5\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} y(x) = 0\).

1. Résoudre \((E_1) : y'' + 4y' + 4y = 0\).

2. Résoudre \((E_2) : y'' + 6y' + 9y = 0\), puis trouver la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 2\) et \(g'(0) = 1\).

3. Soit \((E_3) : y'' - 4y' + 4y = 0\). Vérifier que \(f(x) = x\,e^{2x}\) est solution. Donner toutes les solutions.

1. Résoudre \((E_1) : y'' + 4y = 0\), puis trouver la solution \(g\) vérifiant \(g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1\) et \(g'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\).

2. Résoudre \((E_2) : y'' - 4y' + 13y = 0\).

3. Résoudre \((E_3) : y'' + 2y' + 5y = 0\), puis trouver la solution telle que \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 4\).

Partie A. Soit \((E) : y' - 4y = 6 e^{4x}\).

1. Vérifier que \(y_p(x) = 6 x e^{4x}\) est une solution particulière de \((E)\).

2. Résoudre l’équation homogène \((E_0) : y' - 4y = 0\).

3. En déduire toutes les solutions de \((E)\).

Partie B. Soit \(\varphi(x) = x^2 + 1\). Montrer que \(\varphi\) est solution particulière de \((E') : y'' - y = -x^2 + 1\). En déduire toutes les solutions de \((E')\) (indication : poser \(y = z + \varphi\)).

Un point matériel oscille selon l’équation \(x''(t) + \omega^2 x(t) = 0\) où \(\omega > 0\). À l’instant \(t = 0\) : \(x(0) = x_0\) et \(x'(0) = v_0\).

1. Résoudre cette équation différentielle.

2. Déterminer \(x(t)\) en fonction de \(x_0\), \(v_0\) et \(\omega\).

3. Vérifier que \(x(t)\) peut s’écrire \(x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)\) pour des constantes \(A > 0\) et \(\varphi \in [0\,;2\pi[\) à exprimer en fonction de \(x_0\), \(v_0\), \(\omega\).

4. Application numérique : \(\omega = 2\) rad/s, \(x_0 = 1\) m, \(v_0 = 4\) m/s. Calculer \(A\), \(\varphi\), et la période.

1. Soit \(f(x) = a \cos(2x) + b \sin(2x)\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\). Montrer que \(f\) est solution de \(y'' + 4y = 0\) pour tous \(a, b\).

2. Soit \(f(x) = (\alpha + \beta x)\,e^{-x}\) avec \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\). Vérifier que \(f\) est solution de \(y'' + 2y' + y = 0\).

3. Trouver la valeur de \(\lambda\) pour que \(y_p(x) = \lambda\,e^{2x}\) soit une solution particulière de \(y'' - 3y' + 2y = e^{2x}\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 1)\,e^{-x}\).

1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).

2. Vérifier que \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y'' + 2y' + y = 0\).

3. Soit \(g(x) = (\alpha + \beta x)\,e^{-x}\). Pour quelles valeurs de \(\alpha, \beta\) la fonction \(g\) vérifie-t-elle \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 0\) ?

4. Étudier les variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} g(x)\).

5. Déterminer une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) (indication : IPP).