Série d’exercices

Dans l’espace muni du repère orthonormé direct \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère \(\vec{u}(2,-1,3)\), \(\vec{v}(-1,4,2)\), \(\vec{w}(0,2,-3)\).

1. Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), \(\vec{u} \cdot \vec{w}\), \(\vec{v} \cdot \vec{w}\).

2. Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\), \(\vec{u} \wedge \vec{w}\), \(\vec{v} \wedge \vec{w}\).

3. Vérifier que \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).

4. Calculer \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\), et l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) en degrés (à \(0{,}1\) près).

5. Calculer l’aire du triangle \(ABC\) avec \(A(1,0,1)\), \(B(2,1,2)\), \(C(0,3,1)\).

On considère \(A(0,-2,-2)\), \(B(1,-2,-4)\), \(C(-3,-1,2)\).

1. Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}\). En déduire que \(2x + 2y + z + 6 = 0\) est une équation du plan \((ABC)\).

2. Soit \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 23 = 0\). Vérifier que \((S)\) a pour centre \(\Omega(1,0,1)\) et rayon \(R = 5\).

3. Vérifier que \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}\) est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\).

4. Déterminer les coordonnées de \(H = (\Delta) \cap (ABC)\).

5. Montrer que \(d(\Omega, (ABC)) = 3\) et en déduire que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle de rayon \(4\) et de centre \(H\).

On considère \(A(2,1,0)\) et \(B(-4,1,0)\).

1. Soit \((P)\) le plan passant par \(A\), de vecteur normal \(\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}\). Montrer que \(x + y - z - 3 = 0\) est une équation de \((P)\).

2. Soit \((S) = \{M \in \mathcal{E} \mid \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\}\). Montrer que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(-1,1,0)\) et rayon \(3\).

3. Calculer \(d(\Omega, (P))\) et en déduire que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\mathcal{C})\). Montrer que le centre de \((\mathcal{C})\) est \(H(0,2,-1)\).

4. Montrer que \(\overrightarrow{OH} \wedge \overrightarrow{OB} = \vec{i} + 4\vec{j} + 8\vec{k}\) et en déduire l’aire du triangle \(OHB\).

Soit \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 8 = 0\) et \((P) : x - y + 2z + 1 = 0\).

1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(1,2,3)\) et rayon \(\sqrt{6}\).

2. Vérifier que \((P)\) est tangent à \((S)\).

3. Déterminer une représentation paramétrique de \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\).

4. Déterminer les coordonnées du point de tangence de \((P)\) et \((S)\).

On considère \(A(2,2,-1)\), le plan \((P) : 2x + y + 2z - 13 = 0\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1,0,1)\) et rayon \(3\).

1. Montrer que \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 7 = 0\) est une équation de \((S)\) et vérifier que \(A \in (S)\).

2. Calculer \(d(\Omega, (P))\) et en déduire que \((P)\) est tangent à \((S)\).

3. Soit \((D)\) la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((P)\).

   1. Montrer que \(\vec{u}(2,1,2)\) est un vecteur directeur de \((D)\) et que \(\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u} = (6,-6,-3)\).

   2. Calculer \(\dfrac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}\) et en déduire que \((D)\) est tangente à \((S)\) en \(A\).

On considère \(A(0,1,1)\), \(B(1,2,0)\), \(C(-1,1,2)\).

1. Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + \vec{k}\), puis en déduire que \(x + z - 1 = 0\) est une équation de \((ABC)\).

2. Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(1,1,2)\) et rayon \(\sqrt{2}\). Déterminer son équation cartésienne.

3. Montrer que \((ABC)\) est tangent à \((S)\) et que \(A\) est le point de contact.

4. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(C\) et perpendiculaire à \((ABC)\).

   1. Donner une représentation paramétrique de \((\Delta)\).

   2. Montrer que \((\Delta)\) est tangente à \((S)\) en un point \(D\) dont on déterminera les coordonnées.

On considère \(A(1,-1,1)\), \(B(5,1,-3)\), la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(3,0,-1)\) et rayon \(3\), et la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2,-2,1)\).

1. Calculer \(\Omega A\) et montrer que \((\Delta)\) et \((\Omega A)\) sont perpendiculaires.

2. En déduire la position relative de \((\Delta)\) et \((S)\).

3. Soit \(M_a(2a-3,\,3-2a,\,a-1)\), \(a \in \mathbb{R}\). Montrer que \(\overrightarrow{AM_a} = (a-2)\vec{u}\) et que \(M_a \in (\Delta)\).

4. Soit \((P_a)\) le plan passant par \(M_a\) et perpendiculaire à \((\Delta)\).

   1. Vérifier que \(2x - 2y + z - 9a + 13 = 0\) est une équation de \((P_a)\).

   2. Montrer que \(d(\Omega, (P_a)) = |3a - 6|\).

   3. Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \((P_a)\) est tangent à \((S)\).

On considère le plan \((P)\) passant par \(A(0,1,1)\) de vecteur normal \(\vec{u}(2,0,2)\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(0,1,-1)\) et rayon \(\sqrt{2}\).

1. Montrer que \(x + z - 1 = 0\) est une équation de \((P)\).

2. Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\) et vérifier que \(B(1,1,0)\) est le point de contact.

3. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(A\) et orthogonale à \((P)\).

   1. Donner une représentation paramétrique de \((\Delta)\).

   2. Montrer que \((\Delta)\) est tangente à \((S)\) au point \(C(1,1,0)\).

4. Calculer \(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OB}\) et en déduire l’aire du triangle \(OCB\).

On considère \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0\) et \((P) : y - z = 0\).

1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(1,1,1)\) et rayon \(2\).

2. Calculer \(d(\Omega, (P))\) et en déduire que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\mathcal{C})\). Déterminer son centre et son rayon.

3. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(A(1,-2,2)\) et orthogonale à \((P)\).

   1. Montrer que \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur directeur de \((\Delta)\).

   2. Montrer que \(\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\| = \sqrt{2}\,\|\vec{u}\|\) et en déduire que \((\Delta)\) coupe \((S)\) en deux points.

   3. Déterminer les coordonnées de ces deux points.

Soient \((P) : 2x + y - z + 1 = 0\) et \((Q) : x - y + 2z - 4 = 0\), et \(A(1,2,3)\).

1. Donner les vecteurs normaux \(\vec{n}_P\) et \(\vec{n}_Q\). Vérifier que \(\vec{n}_P\) et \(\vec{n}_Q\) ne sont pas colinéaires.

2. Calculer \(\vec{n}_P \wedge \vec{n}_Q\) et en déduire un vecteur directeur de la droite \((D) = (P) \cap (Q)\).

3. Donner une représentation paramétrique de \((D)\).

4. Calculer la distance de \(A\) à \((P)\) et à \((Q)\).

5. Déterminer une équation de la sphère \((S)\) de centre \(A\) tangente au plan \((P)\).

6. La droite \((D)\) coupe-t-elle la sphère \((S)\) ? Si oui, déterminer les points d’intersection.