Série d’exercices

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(3x^{2}+5x-2=0\)

2. \(4x^{2}-12x+9=0\)

3. \(x^{2}+x+3=0\)

4. \(2x^{2}-7x+3=0\)

5. \(x^{2}-(2+\sqrt{3})x+2\sqrt{3}=0\)

Factoriser, lorsque cela est possible, les trinômes suivants :

1. \(P(x)=x^{2}-7x+12\)

2. \(Q(x)=2x^{2}-3x-2\)

3. \(R(x)=x^{2}-6x+9\)

4. \(S(x)=-x^{2}+x-1\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes (avec tableaux de signes) :

1. \(x^{2}-4x+3\leq 0\)

2. \(-2x^{2}+x+1>0\)

3. \(x^{2}+x+1>0\)

4. \((x^{2}-1)(x^{2}-4x+3)\geq 0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations rationnelles suivantes :

1. \(\dfrac{x-2}{x+1}\geq 0\)

2. \(\dfrac{x^{2}-9}{x-1}\leq 0\)

3. \(\dfrac{2x-3}{x^{2}-4}>0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations bicarrées suivantes :

1. \(x^{4}-5x^{2}+4=0\)

2. \(x^{4}-13x^{2}+36=0\)

3. \(x^{4}+5x^{2}-6=0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) par changement de variable :

1. \((x+1)^{2}-5(x+1)+6=0\)

2. \((x^{2}-x)^{2}-2(x^{2}-x)-3=0\)

Soient \(x_{1}\) et \(x_{2}\) les deux racines (supposées réelles) de l’équation \(x^{2}-5x+3=0\). Sans résoudre l’équation :

1. Calculer \(S=x_{1}+x_{2}\) et \(P=x_{1}\,x_{2}\).

2. En déduire \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) puis \(\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}\).

3. Calculer \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\).

Trouver deux nombres réels dont la somme vaut \(S=7\) et le produit vaut \(P=12\).

Résoudre les systèmes suivants par la méthode de votre choix :

1. \(\begin{cases}3x-2y=4 \\ x+y=3\end{cases}\)

2. \(\begin{cases}2x+5y=8 \\ 4x+10y=15\end{cases}\)

3. \(\begin{cases}x+y=10 \\ 2x-3y=5\end{cases}\)

Problème (mise en équation).

La somme de deux nombres est \(24\) et leur produit est \(135\).
Quels sont ces deux nombres ?

On considère l’équation \((E_{m}):\ x^{2}-(m+1)x+m=0\), où \(m\) est un paramètre réel.

1. Calculer le discriminant \(\Delta\) de \((E_{m})\) en fonction de \(m\).

2. Montrer que \(1\) est toujours une racine de \((E_{m})\), quelle que soit la valeur de \(m\).

3. Donner l’autre racine de \((E_{m})\) en fonction de \(m\).