Équations et inéquations
Table des matières
Équations et inéquations du premier degré
Définition
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation de la forme :
\[ax+b=0,\qquad a,b\in\mathbb{R},\ a\neq 0.\]
L’équation \(ax+b=0\) (avec \(a\neq 0\)) admet une unique solution :
\[x=-\dfrac{b}{a}.\]
Exemple
Résoudre \(3x-7=2x+1\).
\[3x-7=2x+1 \iff x=8.\] L’ensemble des solutions est \(S=\{8\}\).
Pour résoudre l’inéquation \(ax+b\geq 0\) (ou \(\leq\), \(<\), \(>\)) :
-
Si \(a>0\) : \(ax+b\geq 0 \iff x\geq -\dfrac{b}{a}\).
-
Si \(a<0\) : \(ax+b\geq 0 \iff x\leq -\dfrac{b}{a}\) (le sens de l’inégalité change).
Exemple
Résoudre \(-2x+5\leq 3\).
\[-2x+5\leq 3 \iff -2x\leq -2 \iff x\geq 1.\]
\(S=[1\,;+\infty[\).
Équations du second degré
Définition
Une équation du second degré à une inconnue est une équation de la forme :
\[ax^{2}+bx+c=0,\qquad a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq 0.\]
L’expression \(ax^{2}+bx+c\) est appelée trinôme du second degré.
Forme canonique
Soit \(a\neq 0\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[ax^{2}+bx+c = a\!\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right].\]
Définition
Le nombre \(\Delta=b^{2}-4ac\) est appelé discriminant de l’équation \(ax^{2}+bx+c=0\).
Résolution selon le signe du discriminant
Théorème
Soit l’équation \(ax^{2}+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) de discriminant \(\Delta=b^{2}-4ac\).
-
Si \(\Delta>0\) : l’équation admet deux solutions distinctes :
\[x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\] -
Si \(\Delta=0\) : l’équation admet une unique solution (dite double) :
\[x_{0}=-\dfrac{b}{2a}.\] -
Si \(\Delta<0\) : l’équation n’admet aucune solution dans \(\mathbb{R}\).
Exemple
Cas \(\Delta>0\) : résoudre \(2x^{2}-5x+2=0\).
\(\Delta=25-16=9>0\), \(\sqrt{\Delta}=3\).
\(x_{1}=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{1}{2}\), \(x_{2}=\dfrac{5+3}{4}=2\).
\(S=\left\{\dfrac{1}{2}\,;\,2\right\}\).
Cas \(\Delta=0\) : résoudre \(x^{2}-6x+9=0\).
\(\Delta=36-36=0\). Solution unique : \(x_{0}=\dfrac{6}{2}=3\).
\(S=\{3\}\).
Cas \(\Delta<0\) : résoudre \(x^{2}+x+1=0\).
\(\Delta=1-4=-3<0\). Pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
\(S=\varnothing\).
Factorisation du trinôme
Soit \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) avec \(a\neq 0\).
-
Si \(\Delta>0\) et \(x_{1},x_{2}\) sont les deux racines, alors :
\[ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).\] -
Si \(\Delta=0\) et \(x_{0}\) est la racine double, alors :
\[ax^{2}+bx+c=a(x-x_{0})^{2}.\] -
Si \(\Delta<0\), le trinôme n’est pas factorisable dans \(\mathbb{R}\).
Somme et produit des racines
Théorème
Si \(ax^{2}+bx+c=0\) admet deux racines \(x_{1}\) et \(x_{2}\) (cas \(\Delta\geq 0\)), alors :
\[S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a},\qquad P=x_{1}\times x_{2}=\dfrac{c}{a}.\]
Remarque
Réciproque : si deux nombres ont pour somme \(S\) et produit \(P\), alors ils sont les solutions de l’équation :
\[X^{2}-SX+P=0.\]
Exemple
Soit \(2x^{2}-5x+2=0\). On a déjà trouvé \(x_{1}=\dfrac{1}{2}\) et \(x_{2}=2\).
\(S=x_{1}+x_{2}=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}=-\dfrac{-5}{2}\) ✓ \(P=x_{1}\times x_{2}=1=\dfrac{2}{2}\) ✓
Signe du trinôme
Théorème
Soit \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) avec \(a\neq 0\) et \(\Delta=b^{2}-4ac\).
Si \(\Delta>0\) (racines \(x_{1}<x_{2}\)) :
\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_{1} & & x_{2} & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}\]
Si \(\Delta=0\) (racine double \(x_{0}\)) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) pour tout \(x\neq x_{0}\), nul en \(x_{0}\).
Si \(\Delta<0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Remarque
Mnémotechnique : « extérieur du signe de \(a\), intérieur du signe contraire ».
Exemple
Étudier le signe de \(f(x)=-x^{2}+3x-2\).
\(a=-1\), \(b=3\), \(c=-2\), \(\Delta=9-8=1>0\).
Racines : \(x_{1}=\dfrac{-3-1}{-2}=2\), \(x_{2}=\dfrac{-3+1}{-2}=1\). Avec \(x_{1}<x_{2}\) : \(x_{1}=1\), \(x_{2}=2\).
\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}\]
(\(a<0\), donc extérieur négatif, intérieur positif.)
Inéquations du second degré
Remarque
Méthode : pour résoudre \(ax^{2}+bx+c\geq 0\) (ou \(\leq\), \(<\), \(>\)) :
-
Calculer \(\Delta\), trouver les racines (s’il y en a).
-
Dresser le tableau de signes.
-
Lire les solutions sur le tableau.
Exemple
Résoudre \(x^{2}-5x+6>0\).
\(\Delta=25-24=1\). Racines : \(x_{1}=2\), \(x_{2}=3\).
\(a=1>0\) donc \(f(x)>0\) à l’extérieur de \([2\,;3]\) :
\(S=]-\infty\,;2[\,\cup\,]3\,;+\infty[\).
Exemple
Résoudre \(-x^{2}+4x-4\geq 0\).
\(\Delta=16-16=0\). Racine double \(x_{0}=2\). \(a=-1<0\) donc \(f(x)\leq 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) ; \(f(x)=0\) ssi \(x=2\).
\(S=\{2\}\).
Équations se ramenant au second degré
Équations bicarrées
Définition
Une équation bicarrée est de la forme :
\[ax^{4}+bx^{2}+c=0,\qquad a\neq 0.\]
Remarque
Méthode : on pose \(X=x^{2}\) (donc \(X\geq 0\)). L’équation devient \(aX^{2}+bX+c=0\). On résout en \(X\), puis pour chaque solution \(X\geq 0\), on revient à \(x=\pm\sqrt{X}\).
Exemple
Résoudre \(x^{4}-5x^{2}+4=0\).
On pose \(X=x^{2}\). L’équation devient \(X^{2}-5X+4=0\).
\(\Delta=25-16=9\), \(X_{1}=\dfrac{5-3}{2}=1\), \(X_{2}=\dfrac{5+3}{2}=4\).
Les deux sont \(\geq 0\) : \(x^{2}=1\) donne \(x=\pm 1\), \(x^{2}=4\) donne \(x=\pm 2\).
\(S=\{-2\,;-1\,;1\,;2\}\).
Équations avec changement de variable
Exemple
Résoudre \((x-1)^{2}-3(x-1)+2=0\).
On pose \(X=x-1\). L’équation devient \(X^{2}-3X+2=0\), de solutions \(X_{1}=1\), \(X_{2}=2\).
Donc \(x-1=1\) ou \(x-1=2\), soit \(x=2\) ou \(x=3\).
\(S=\{2\,;3\}\).
Systèmes linéaires à deux inconnues
Définition
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est de la forme :
\[(S):\ \begin{cases}ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{cases}\]
où \(a,b,c,a',b',c'\in\mathbb{R}\), \((a,b)\neq (0,0)\), \((a',b')\neq (0,0)\).
Définition
Le déterminant du système \((S)\) est :
\[\det(S)=\begin{vmatrix}a & b\\ a' & b'\end{vmatrix}=ab'-a'b.\]
Théorème
-
Si \(\det(S)\neq 0\) : le système admet une unique solution \((x_{0}\,;y_{0})\).
-
Si \(\det(S)=0\) : le système n’admet aucune solution ou en admet une infinité (selon les coefficients \(c\), \(c'\)).
Méthodes de résolution
Remarque
-
Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, substituer dans la seconde.
-
Combinaison linéaire : multiplier les équations par des constantes pour éliminer une inconnue par addition.
-
Cramer (cas \(\det(S)\neq 0\)) :
\[x_{0}=\dfrac{1}{\det(S)}\begin{vmatrix}c & b\\ c' & b'\end{vmatrix},\qquad y_{0}=\dfrac{1}{\det(S)}\begin{vmatrix}a & c\\ a' & c'\end{vmatrix}.\]
Exemple
Résoudre \(\begin{cases}2x+3y=8 \\ x-y=1\end{cases}\)
Méthode de substitution : de la 2e équation, \(x=y+1\). Substituer : \(2(y+1)+3y=8\iff 5y=6\iff y=\dfrac{6}{5}\). Donc \(x=\dfrac{11}{5}\).
Vérification : \(2\times\dfrac{11}{5}+3\times\dfrac{6}{5}=\dfrac{22+18}{5}=8\) ✓ \(\dfrac{11}{5}-\dfrac{6}{5}=1\) ✓
Exercice n°1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(3x^{2}+5x-2=0\)
-
\(4x^{2}-12x+9=0\)
-
\(x^{2}+x+3=0\)
Exercice n°2
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations :
-
\(x^{2}-4x+3\leq 0\)
-
\(-2x^{2}+x+1>0\)
Exercice n°3
Résoudre le système :
\[\begin{cases}3x-2y=4 \\ x+y=3\end{cases}\]
en utilisant la méthode de Cramer.