Série d'exercices 2ème Bac

Série d’exercices

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Exercice n°1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

  1. \(e^{2x} = 1\)

  2. \(3 e^{x - 2} = 1\)

  3. \(e^{2x} - e^x - 2 = 0\)

  4. \(2 e^{2x} - 5 e^x + 3 = 0\)

  5. \(e^x + 4 e^{-x} = 4\)

  6. \((e^x - 1)(e^x - 2) < 0\)

  7. \(\dfrac{e^{2x} - 4}{1 - e^x} \geq 0\)

  8. \(\ln(3 e^x - 1) > 5\)

  9. \(3^x = 6\)

  10. \(7^x - 3 + 2 \cdot 7^{-x} \leq 0\)

Exercice n°2

Justifier la dérivabilité et calculer \(f'(x)\) :

  1. \(f_1(x) = e^{2x^2 - 3x + 5}\)

  2. \(f_2(x) = x^3\,e^{1/x}\)

  3. \(f_3(x) = (x - 1)\,e^{\sqrt{x^2 - x}}\)

  4. \(f_4(x) = \dfrac{e^x}{x - 2}\)

  5. \(f_5(x) = \ln\!\left(\dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}\right)\)

  6. \(f_6(x) = 2^x + 3^x\)

Exercice n°3

Déterminer une primitive de chaque fonction sur un intervalle approprié :

  1. \(f_1(x) = e^{2x + 5}\)

  2. \(f_2(x) = x\,e^{x^2}\)

  3. \(f_3(x) = \dfrac{3 e^x}{\sqrt{2 e^x + 1}}\)

  4. \(f_4(x) = \dfrac{-e^x}{(e^x - 1)^2}\)

  5. \(f_5(x) = (x^3 - x)\,e^{x^4 - 2 x^2 + 1}\)

  6. \(f_6(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 2}\)

Exercice n°4

Soit \(f(x) = \dfrac{8 - e^x}{e^x + 2}\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = 4 - \dfrac{5 e^x}{e^x + 2}\).

  2. Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(\ln 2) = -6 \ln 2\).

Exercice n°5

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (e^x - x)\)

  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^3\,e^{2x}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x}{e^x + x^2}\)

  5. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{2x}\)

  6. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(e^x + 1)}{e^x}\)

  7. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x\!\left(e^{1/x} - 1\right)\)

  8. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \!\left(x + \dfrac{1}{x}\right) e^{2x}\)

Exercice n°6

Soit \(f\) définie par \(f(x) = x + 2 + \dfrac{4}{e^x - 1}\).

  1. Déterminer \(D_f\).

  2. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)\).

  3. Montrer que \(f(x) + f(-x) = 4\). En déduire que \(I(0\,;2)\) est centre de symétrie de \((\mathcal{C}_f)\).

  4. Étudier les variations de \(f\) et dresser le tableau.

  5. Étudier les branches infinies de \((\mathcal{C}_f)\).

Exercice n°7

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 1) e^{-x} - 1\).

  1. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).

  2. Étudier les branches infinies de \((\mathcal{C}_f)\).

  3. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations.

  4. Étudier la convexité de \((\mathcal{C}_f)\) et déterminer ses points d’inflexion.

  5. Discuter, selon le réel \(m\), le nombre de solutions de l’équation \((1 + x) = (m + 1) e^x\).

Exercice n°8

Soit \(f(x) = 4^x - 2^x\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Réécrire \(f(x)\) en posant \(X = 2^x\) et factoriser.

  2. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\). Interpréter graphiquement.

  3. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.

  4. Dresser le tableau de variations de \(f\) et préciser le minimum.

Exercice n°9

Partie A. Soit \(g(x) = 2 e^x - 2x - 2\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Étudier les variations de \(g\).

  2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g(x) \geq 0\).

Partie B. Soit \(f(x) = 2 e^{2x} - 4 x e^x - 2\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\) et interpréter graphiquement.

  2. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}\).

  3. Montrer que \(f'(x) = 2 g(x) e^x\). En déduire que \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

  4. Calculer \(f'(0)\) et écrire l’équation de la tangente à \((\mathcal{C}_f)\) en \(0\).

Exercice n°10

Partie A. Soit \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = e^x - x^2 + 3x - 1\). On admet que \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

  1. Vérifier que \(g(0) = 0\).

  2. Déterminer le signe de \(g(x)\) sur \(]-\infty\,;0]\) et \([0\,;+\infty[\).

Partie B. Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x^2 - x) e^{-x} + x\).

  1. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x) - x)\). En déduire que \((D) : y = x\) est asymptote oblique de \((\mathcal{C}_f)\) en \(+\infty\).

  2. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}\). Interpréter.

  3. Montrer que \(f(x) - x\) a le même signe que \(x^2 - x\). En déduire la position de \((\mathcal{C}_f)\) par rapport à \((D)\).

  4. Montrer que \(f'(x) = g(x)\,e^{-x}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).

  5. Montrer que \(f''(x) = (x^2 - 5x + 4) e^{-x}\) et déterminer les points d’inflexion.

Partie C. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

  1. Montrer par récurrence que \(0 \leq u_n \leq 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

  2. Étudier la monotonie de \((u_n)\) et conclure quant à la convergence. Déterminer la limite.

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