Série d’exercices

Calculer les intégrales suivantes :

1. \(\displaystyle\int_{-1}^{2} (2x^3 - 5x^2 + 2)\,dx\)

2. \(\displaystyle\int_{1}^{2} \!\left(\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x}\right) dx\)

3. \(\displaystyle\int_{0}^{2} \sqrt{x + 4}\,dx\)

4. \(\displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,dx\)

5. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx\)

6. \(\displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,\sqrt{e^x + 1}\,dx\)

Calculer les intégrales :

1. \(\displaystyle\int_{0}^{4} x \sqrt{1 + x^2}\,dx\)

2. \(\displaystyle\int_{e^2}^{e^4} \dfrac{\ln x}{x}\,dx\)

3. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \dfrac{e^x}{e^x + 1}\,dx\)

4. \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x - 1}{x^2 - 2x + 2}\,dx\)

5. \(\displaystyle\int_{0}^{1} (1 - x)\,e^{x^2 - 2x + 3}\,dx\)

6. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} \cos x \cdot \sin^5 x\,dx\)

1. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 4}{x - 1}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).

   1. Déterminer les réels \(a, b, c\) tels que \(f(x) = a x + b + \dfrac{c}{x - 1}\).

   2. En déduire \(\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\,dx\).

2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x + 5}\,dx\).

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_{-3}^{2} |x|\,dx\)

2. \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{2|x|}{x^2 + 1}\,dx\)

3. \(\displaystyle\int_{-1}^{5} |x^2 - 4x|\,dx\)

4. \(\displaystyle\int_{0}^{1} |e^{-x + 1} - 1|\,dx\)

1. Linéariser \(\cos^3 x\) et \(\sin^4 x\).

2. En déduire \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos^3 x\,dx\) et \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x\,dx\).

3. Vérifier que \(\sin^2 x \cos^3 x = \cos x \sin^2 x - \cos x \sin^4 x\), puis calculer \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^3 x\,dx\).

Calculer par IPP :

1. \(I_1 = \displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^x\,dx\)

2. \(I_2 = \displaystyle\int_{1}^{e} x^2 \ln x\,dx\)

3. \(I_3 = \displaystyle\int_{0}^{\pi} x^2 \cos x\,dx\)

4. \(I_4 = \displaystyle\int_{2}^{e} \ln(x + 2)\,dx\)

5. \(I_5 = \displaystyle\int_{1}^{e^2} x (\ln x)^2\,dx\)

6. \(I_6 = \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin x\,e^x\,dx\)

Soient \(K = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \dfrac{e^t - 1}{e^t + 1}\,dt\) et \(L = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \dfrac{1}{e^t + 1}\,dt\).

1. Calculer \(K + L\) et \(K + 2L\).

2. En déduire les valeurs de \(K\) et \(L\).

3. Soient \(I = \displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \cos(3x) \cos x\,dx\) et \(J = \displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \sin(3x) \sin x\,dx\).

   1. Vérifier que \(\cos(3x)\cos x + \sin(3x)\sin x = \cos(2x)\) et que \(\cos(3x)\cos x - \sin(3x)\sin x = \cos(4x)\).

   2. Calculer \(I + J\) et \(I - J\), puis en déduire \(I\) et \(J\).

1. Montrer que \(\displaystyle\int_{1}^{2} \ln(x^2 + 1)\,dx \geq 0\).

2. Encadrer \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{\sin x}{x^2}\,dx\) par deux nombres simples.

3. Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}\) sur \([1\,;3]\).

4. Calculer la valeur moyenne de \(g(x) = \dfrac{\ln^2 x + x}{x}\) sur \([1\,;e]\).

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j})\) d’unité \(1\) cm.

1. Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine délimité par la courbe de \(f(x) = \sin x\), l’axe \((Ox)\) et les droites \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) et \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

2. Soient \(f(x) = 2x^2 + 1\) et \(g(x) = x^2 + x + 1\). Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine \((\Delta)\) délimité par \((\mathcal{C}_f)\), \((\mathcal{C}_g)\), \(x = 0\) et \(x = 2\).

3. Soit \(f\) définie sur \(]0\,;e[\,\cup\,]e\,;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x(1 - \ln x)}\).

   1. Montrer que \(\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{e}} \dfrac{1}{x(1 - \ln x)}\,dx = \ln 2\).

   2. Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine délimité par \((\mathcal{C}_f)\), l’axe \((Ox)\) et les droites \(x = 1\) et \(x = \sqrt{e}\).

1. Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe \(f(x) = e^x\) sur \([0\,;1]\) autour de l’axe \((Ox)\).

2. Calculer le volume engendré par la rotation de \(f(x) = x e^{x/2}\) sur \([0\,;1]\) autour de \((Ox)\) (indication : développer \(x^2 e^x\) et utiliser une IPP double).

3. Calculer le volume engendré par la rotation de \(g(x) = \cos x\) sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) autour de \((Ox)\) (indication : linéariser \(\cos^2 x\)).