Série d’exercices

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

1. \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-9}\)

2. \(g(x)=\sqrt{x^{2}-4}\)

3. \(h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\)

4. \(k(x)=\sqrt{x+2}+\dfrac{1}{x-5}\)

5. \(\ell(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+1}\)

Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).

1. Déterminer \(D_{f}\).

2. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-3)\).

3. Déterminer l’antécédent de \(3\) par \(f\).

4. Le point \(A(4\,;3)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_{f}\) ? Et \(B(2\,;5)\) ?

Étudier la parité des fonctions suivantes :

1. \(f(x)=x^{4}-3x^{2}+1\)

2. \(g(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}\)

3. \(h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{|x|}\)

4. \(k(x)=x^{3}+x\)

5. \(\ell(x)=\sqrt{x^{2}+1}+x\)

Soient \(f\) et \(g\) définies par :
\[f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\qquad\text{et}\qquad g(x)=x+2.\]

1. Déterminer \(D_{f}\) et \(D_{g}\).

2. Simplifier \(f(x)\) pour \(x\in D_{f}\).

3. Les fonctions \(f\) et \(g\) sont-elles égales ? Justifier.

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-6x+5\).

1. Vérifier que \(f(x)=(x-3)^{2}-4\).

2. En déduire les variations de \(f\) sur \(]-\infty\,;3]\) et \([3\,;+\infty[\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\).

4. Préciser l’extremum de \(f\).

Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\) en utilisant le taux d’accroissement.

Soient \(f(x)=x^{2}+1\) et \(g(x)=2x\).

1. Calculer \(f(x)-g(x)\) et étudier son signe.

2. En déduire la position relative des courbes \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty\,;-1[\cup]-1\,;+\infty[\) par :
\[f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}.\]

1. Montrer que pour tout \(x\in D_{f}\) : \(f(x)=2+\dfrac{1}{x+1}\).

2. Soient \(x_{1},x_{2}\in ]-1\,;+\infty[\) avec \(x_{1}<x_{2}\). Calculer \(f(x_{1})-f(x_{2})\) et en déduire son signe.

3. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(]-1\,;+\infty[\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-|x|\).

1. Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

2. Étudier la parité de \(f\).

3. Montrer que pour tout \(x\geq 0\) : \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\).

4. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\).