Série d’exercices

Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs du plan tels que \(\|\overrightarrow{u}\|=5\), \(\|\overrightarrow{v}\|=2\sqrt{3}\) et \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}=\dfrac{\pi}{6}\).

1. Calculer \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\).

2. Calculer \(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^{2}\) puis \(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|\).

3. Calculer \(\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}\).

Dans un repère orthonormé, on donne \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\).

2. Calculer \(\|\overrightarrow{u}\|\) et \(\|\overrightarrow{v}\|\).

3. En déduire \(\cos\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}\) et la mesure de l’angle (arrondie au degré près).

Dans un repère orthonormé, on donne les points \(A(1\,;2)\), \(B(5\,;0)\) et \(C(3\,;6)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

2. Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\).

3. Calculer \(\cos\widehat{BAC}\) et en déduire \(\widehat{BAC}\) (arrondi au degré).

4. Déterminer la nature précise du triangle \(ABC\).

Étudier l’orthogonalité des couples de vecteurs suivants (repère orthonormé) :

1. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}4\\ 6\end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix}\)

3. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}\sqrt{6}\\ -2\end{pmatrix}\)

Soit \(ABCD\) un carré de côté \(a\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).

2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

3. Calculer \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\). Que peut-on en déduire ?

Dans un triangle \(ABC\), on a \(AB=4\), \(AC=6\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}\).

1. Calculer \(BC^{2}\) par le théorème d’Al-Kashi.

2. En déduire \(BC\).

Dans un repère orthonormé, on considère la droite \((D):3x-4y+5=0\) et le point \(M(2\,;-1)\).

1. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de \((D)\).

2. Calculer \(d(M,(D))\), la distance de \(M\) à \((D)\).

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne :

1. du cercle de centre \(\Omega(3\,;-2)\) et de rayon \(4\) ;

2. du cercle de centre \(\Omega(1\,;5)\) passant par \(A(-2\,;1)\) ;

3. du cercle de diamètre \([AB]\) où \(A(2\,;3)\) et \(B(6\,;-1)\).

On considère l’équation : \(x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0\).

1. Montrer que cette équation représente un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2. Le point \(A(7\,;-2)\) appartient-il à ce cercle ?

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\), et soit \(G\) son centre de gravité.

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

2. Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).

3. En déduire \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC}\). Quelle propriété géométrique retrouve-t-on ?