Géométrie analytique de l’espace SM
Table des matières
Géométrie analytique dans l’espace
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Repère et coordonnées dans l’espace
Définition
Un repère de l’espace est la donnée d’un point \(O\) et de trois vecteurs \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) non coplanaires.
Pour tout point \(M\) de l’espace, il existe un unique triplet \((x, y, z) \in \mathbb{R}^3\) tel que :
\[\overrightarrow{OM} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}.\]
\((x, y, z)\) sont les coordonnées de \(M\) dans le repère.
Proposition
Si \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\) :
\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\, y_B - y_A,\, z_B - z_A).\]
Milieu de \([AB]\) : \(I\!\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}, \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)\).
Représentations d’une droite
Représentation paramétrique
Théorème
Soit \(A(x_0, y_0, z_0)\) et \(\vec{u}(a, b, c) \neq \vec{0}\). La droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) admet la représentation paramétrique :
\[(D) : \begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \\ z = z_0 + c t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.\]
Exemple
Droite passant par \(A(1, 2, 3)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2, -1, 4)\) :
\[\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]
Droite passant par deux points
Proposition
La droite \((AB)\) passant par \(A\) et \(B\) (distincts) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\). Sa représentation paramétrique est :
\[\begin{cases} x = x_A + (x_B - x_A) t \\ y = y_A + (y_B - y_A) t \\ z = z_A + (z_B - z_A) t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]
Position relative de deux droites
Théorème
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites de vecteurs directeurs \(\vec{u}_1, \vec{u}_2\).
Cas 1. \(\vec{u}_1, \vec{u}_2\) colinéaires : les droites sont parallèles.
-
Si un point de \((D_1)\) est sur \((D_2)\) : confondues.
-
Sinon : strictement parallèles.
Cas 2. \(\vec{u}_1, \vec{u}_2\) non colinéaires :
-
Si elles ont un point commun (système compatible) : sécantes.
-
Sinon : non coplanaires (« gauches »).
Représentations d’un plan
Représentation paramétrique
Théorème
Soit \(A(x_0, y_0, z_0)\) et \(\vec{u}, \vec{v}\) deux vecteurs non colinéaires de l’espace. Le plan \((P)\) passant par \(A\) et dirigé par \(\vec{u}, \vec{v}\) admet la représentation paramétrique :
\[(P) : \begin{cases} x = x_0 + a t + a' s \\ y = y_0 + b t + b' s \\ z = z_0 + c t + c' s \end{cases}, \quad (t, s) \in \mathbb{R}^2,\]
où \(\vec{u}(a, b, c)\) et \(\vec{v}(a', b', c')\).
Plan défini par trois points non alignés
Proposition
Trois points \(A, B, C\) non alignés définissent un unique plan, qui passe par \(A\) et est dirigé par \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Équation cartésienne d’un plan
Théorème
Tout plan \((P)\) de l’espace admet une équation cartésienne de la forme :
\[a x + b y + c z + d = 0, \quad (a, b, c) \neq (0, 0, 0).\]
Réciproquement, l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) vérifiant cette équation est un plan.
Méthode
Pour passer d’une représentation paramétrique à une équation cartésienne, on élimine les paramètres \(t\) et \(s\) entre les trois équations.
Pour passer d’une équation cartésienne à une représentation paramétrique, on exprime \(x\) ou \(y\) ou \(z\) en fonction des deux autres, puis on paramètre.
Exemple
Équation cartésienne du plan passant par \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\), \(C(0, 0, 3)\).
Position relative droite/plan
Théorème
Soit \((D)\) une droite de vecteur directeur \(\vec{u}\) et \((P)\) un plan dirigé par \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\).
\(\bullet\)Si \(\vec{u}, \vec{v}_1, \vec{v}_2\) coplanaires : \((D)\) est parallèle à \((P)\) (incluse ou strictement).
\(\bullet\)Sinon : \((D)\) est sécante à \((P)\) en un unique point.
Position relative de deux plans
Théorème
Deux plans dans l’espace sont soit :
\(\bullet\)Confondus (mêmes équations à coefficient près).
\(\bullet\)Strictement parallèles (équations cartésiennes de directions proportionnelles mais constantes différentes).
\(\bullet\)Sécants le long d’une droite.
Exemple
Soient \((P_1) : x + 2y - z = 1\) et \((P_2) : 2x + y + z = 3\). Étudier leur position.
Synthèse
Récapitulatif
| Objet | Représentation |
|---|---|
| Droite par \(A, \vec{u}\) | paramétrique \(M = A + t \vec{u}\) |
| Plan par \(A, \vec{u}, \vec{v}\) | paramétrique \(M = A + t \vec{u} + s \vec{v}\) |
| Plan | cartésienne \(ax + by + cz + d = 0\) |
| 2 droites | parallèles / sécantes / non coplanaires |
| Droite + plan | parallèles / sécants en 1 point |
| 2 plans | confondus / parallèles / sécants en droite |
Pièges classiques
Remarque
-
Droites gauches. Deux droites non parallèles peuvent ne pas se couper.
-
Paramétrique de plan : 2 paramètres. 1 paramètre pour la droite, 2 pour le plan.
-
Cartésienne \((a, b, c) \neq (0,0,0)\). Indispensable, sinon ce n’est pas un plan.
-
Intersection plans = système. 2 équations, 3 inconnues : droite généralement.
Fin du chapitre 6 – Analytique de l’espace