Généralités sur les fonctions SM
Table des matières
Généralités sur les fonctions numériques
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Notion de fonction numérique
Définition
Définition
Une fonction numérique (de variable réelle) est une application \(f : D \to \mathbb{R}\), où \(D\) est une partie de \(\mathbb{R}\) appelée ensemble de définition (ou domaine), notée \(\mathcal{D}_f\).
L’image d’un réel \(x \in \mathcal{D}_f\) se note \(f(x)\). Le nombre \(f(x)\) s’appelle l’image de \(x\) par \(f\).
La courbe représentative de \(f\) dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) du plan est l’ensemble des points :
\[\mathcal{C}_f = \bigl\{\, M(x, f(x)) \;|\; x \in \mathcal{D}_f\,\bigr\}.\]
Détermination de l’ensemble de définition
Méthode
\(\mathcal{D}_f\) est l’ensemble des \(x \in \mathbb{R}\) pour lesquels \(f(x)\) est calculable. En pratique :
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Une fraction \(\dfrac{u(x)}{v(x)}\) exige \(v(x) \neq 0\).
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Une racine carrée \(\sqrt{u(x)}\) exige \(u(x) \geq 0\).
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Un logarithme (hors-programme TC, à venir) exige \(u(x) > 0\).
\(\mathcal{D}_f\) est l’intersection des conditions de toutes les expressions intervenant dans \(f(x)\).
Exemple
Déterminer \(\mathcal{D}_f\) pour chacune des fonctions :
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\(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 4}\) : on exige \(x^2 - 4 \neq 0\), soit \(x \neq \pm 2\). Donc \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\,2\}\).
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\(g(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2}\) : on exige \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\), soit \((x-1)(x-2) \geq 0\), soit \(x \leq 1\) ou \(x \geq 2\). Donc \(\mathcal{D}_g = \,]-\infty, 1] \cup [2, +\infty[\).
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\(h(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x - 3}\) : on exige \(x - 1 \geq 0\) et \(x - 3 \neq 0\). Donc \(\mathcal{D}_h = [1, 3[\,\cup\,]3, +\infty[\).
Égalité de deux fonctions
Définition
Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont égales, et on écrit \(f = g\), si elles ont le même ensemble de définition et coïncident en chaque point :
\[f = g \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathcal{D}_f = \mathcal{D}_g \;\text{ et }\; (\forall x \in \mathcal{D}_f)\;\; f(x) = g(x).\]
Exemple
Les fonctions \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) et \(g(x) = x + 1\) sont distinctes bien qu’elles aient la même expression simplifiée : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) alors que \(\mathcal{D}_g = \mathbb{R}\).
Parité et périodicité
Parité
Définition
Soit \(f\) une fonction de domaine \(\mathcal{D}_f\) symétrique par rapport à \(0\) (c’est-à-dire : \(\,\forall x \in \mathcal{D}_f, \, -x \in \mathcal{D}_f\)).
\(\bullet\)\(f\) est paire si \(\,(\forall x \in \mathcal{D}_f)\;\; f(-x) = f(x)\). La courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
\(\bullet\)\(f\) est impaire si \(\,(\forall x \in \mathcal{D}_f)\;\; f(-x) = -f(x)\). La courbe est alors symétrique par rapport à l’origine.
Exemple
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\(f(x) = x^2\) est paire : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\).
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\(g(x) = x^3\) est impaire : \(g(-x) = -x^3 = -g(x)\).
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\(h(x) = x^2 + x\) n’est ni paire ni impaire : \(h(-1) = 0\) et \(h(1) = 2\), donc \(h(-x) \neq h(x)\) et \(h(-x) \neq -h(x)\).
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\(k(x) = |x|\) est paire ; \(\ell(x) = \dfrac{1}{x}\) est impaire (sur \(\mathbb{R}^*\)).
Méthode
Pour étudier la parité d’une fonction \(f\) :
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Vérifier que \(\mathcal{D}_f\) est symétrique par rapport à \(0\).
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Calculer \(f(-x)\).
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Comparer avec \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Si \(f\) est paire (ou impaire), on peut limiter l’étude à \(\mathcal{D}_f \cap [0, +\infty[\), puis compléter par symétrie.
Périodicité
Définition
Une fonction \(f\) est périodique de période \(T > 0\) si :
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\((\forall x \in \mathcal{D}_f)\;\; x + T \in \mathcal{D}_f\) et \(x - T \in \mathcal{D}_f\) ;
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\((\forall x \in \mathcal{D}_f)\;\; f(x + T) = f(x)\).
La plus petite période strictement positive (lorsqu’elle existe) s’appelle la période principale de \(f\).
Exemple
La fonction \(f(x) = \sin(x)\) est périodique de période \(2\pi\) ; la fonction \(g(x) = \tan(x)\) est périodique de période \(\pi\).
La fonction \(h(x) = \cos(\omega x)\) (avec \(\omega > 0\)) est périodique de période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).
Remarque
Si \(f\) est périodique de période \(T\), alors elle est \(kT\)-périodique pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\). Plus généralement, \(f(x+kT)=f(x)\) pour tout \(k\in\mathbb{Z}\). L’étude peut donc se restreindre à un intervalle de longueur \(T\), puis se compléter par translations horizontales successives.
Application
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Étudier la parité de :
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\(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\).
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\(g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\).
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\(h(x) = x \sqrt{1 + x^2}\).
-
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Soit \(f(x) = \sin(2x) + \cos(x)\). Montrer que \(f\) est \(2\pi\)-périodique. Est-ce la période principale ?
Sens de variation, monotonie
Définitions
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I \subset \mathcal{D}_f\).
\(\bullet\)\(f\) est croissante sur \(I\) si \(\,(\forall x_1, x_2 \in I)\; x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\).
\(\bullet\)\(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(\,(\forall x_1, x_2 \in I)\; x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\).
\(\bullet\)\(f\) est décroissante (resp. strictement décroissante) sur \(I\) si les inégalités sont inversées.
\(\bullet\)\(f\) est constante sur \(I\) si \(\,(\forall x_1, x_2 \in I)\; f(x_1) = f(x_2)\).
\(\bullet\)\(f\) est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement).
Étude par taux de variation
Définition
Soit \(f\) définie sur \(I\) et \(x_1 \neq x_2\) dans \(I\). Le taux de variation (ou taux d’accroissement) de \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) est :
\[\tau(x_1, x_2) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.\]
Proposition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\).
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\(f\) croissante sur \(I\) \(\,\Leftrightarrow\, \tau(x_1, x_2) \geq 0\) pour tous \(x_1 \neq x_2 \in I\).
-
\(f\) décroissante sur \(I\) \(\,\Leftrightarrow\, \tau(x_1, x_2) \leq 0\) pour tous \(x_1 \neq x_2 \in I\).
-
Idem avec inégalités strictes pour la monotonie stricte.
Exemple
Étudier les variations de \(f(x) = x^2\) sur \(\mathbb{R}\).
Tableau de variations
Remarque
On synthétise les variations d’une fonction dans un tableau de variations :
Pour \(f(x) = x^2\), le minimum est \(0\) atteint en \(x = 0\).
Variations de \(f + \lambda\) et de \(\lambda f\)
Proposition
Soit \(f\) définie sur \(I\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :
-
\(f + \lambda\) (la fonction \(x \mapsto f(x) + \lambda\)) a les mêmes variations que \(f\).
-
\(\lambda f\) (la fonction \(x \mapsto \lambda f(x)\)) a les mêmes variations que \(f\) si \(\lambda > 0\), et les variations contraires si \(\lambda < 0\).
Démonstration
Cas \(\lambda f\) avec \(\lambda < 0\). Soient \(x_1 < x_2\) dans \(I\), \(f\) croissante. Alors \(f(x_1) \leq f(x_2)\) ; en multipliant par \(\lambda < 0\), l’inégalité s’inverse : \(\lambda f(x_1) \geq \lambda f(x_2)\). Donc \(\lambda f\) est décroissante. \(\square\)
Variations de la composée \(g \circ f\)
Théorème
Soient \(f : I \to J\) et \(g : J \to \mathbb{R}\) deux fonctions (où \(J \supset f(I)\)).
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Si \(f\) et \(g\) ont même sens de variation, alors \(g \circ f\) est croissante sur \(I\).
-
Si \(f\) et \(g\) ont sens contraires, alors \(g \circ f\) est décroissante sur \(I\).
Démonstration
Supposons par exemple \(f\) croissante sur \(I\) et \(g\) croissante sur \(J\). Soient \(x_1 < x_2\) dans \(I\) ; alors \(f(x_1) \leq f(x_2)\), et comme \(f(x_1), f(x_2) \in J\) et \(g\) croissante : \(g(f(x_1)) \leq g(f(x_2))\). Donc \(g \circ f\) est croissante. Les autres cas sont symétriques. \(\square\)
Exemple
Étudier les variations de \(\varphi(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Extremums
Définition
Soit \(f\) définie sur \(\mathcal{D}_f\) et \(x_0 \in \mathcal{D}_f\).
\(\bullet\)\(f(x_0)\) est le maximum (absolu) de \(f\) sur \(\mathcal{D}_f\) si \(\,(\forall x \in \mathcal{D}_f)\; f(x) \leq f(x_0)\).
\(\bullet\)\(f(x_0)\) est le minimum (absolu) de \(f\) sur \(\mathcal{D}_f\) si \(\,(\forall x \in \mathcal{D}_f)\; f(x) \geq f(x_0)\).
\(\bullet\)Si l’inégalité n’est vraie qu’au voisinage de \(x_0\), on parle de maximum (ou minimum) local.
Proposition
Une fonction strictement monotone sur un intervalle \(I\) atteint ses extrémums (s’ils existent) aux bornes de \(I\).
Exemple
La fonction \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\) s’écrit \(f(x) = -(x-2)^2 + 5\). Donc \(f(x) \leq 5\) pour tout \(x\), avec égalité en \(x = 2\). Maximum absolu : \(5\), atteint en \(x = 2\). Pas de minimum (la fonction tend vers \(-\infty\) en \(\pm\infty\)).
Application
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Étudier les variations et les extrémums de :
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\(f(x) = 3x^2 - 6x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
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\(g(x) = \dfrac{1}{x-2}\) sur \(]-\infty, 2[\) et sur \(]2, +\infty[\).
-
\(h(x) = \sqrt{4 - x^2}\) sur \([-2, 2]\).
-
-
Déterminer les variations de \(\varphi(x) = (3x - 1)^2 + 2\) en décomposant \(\varphi = g \circ f\).
Comparaison de fonctions et résolution graphique
Comparaison de deux fonctions
Définition
Soient \(f\) et \(g\) définies sur un intervalle \(I\). On dit que \(f \leq g\) sur \(I\) si \(\,(\forall x \in I)\; f(x) \leq g(x)\).
Graphiquement, \(f \leq g\) sur \(I\) signifie que \(\mathcal{C}_f\) est en-dessous de \(\mathcal{C}_g\) sur l’intervalle.
Méthode
Pour comparer \(f\) et \(g\) sur un intervalle \(I\), on étudie le signe de la différence \(f(x) - g(x)\) par les techniques suivantes :
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Factorisation : \((x-a)(x-b)\), identités remarquables…
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Tableau de signe.
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Quantité conjuguée pour les racines : \(\sqrt{a} - \sqrt{b} = \dfrac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\).
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Étude des variations de \(h = f - g\).
Exemple
Comparer \(f(x) = x\) et \(g(x) = x^2\) sur \(\mathbb{R}\).
Résolution graphique
Remarque
Résolution graphique de l’équation \(f(x) = k\) : les solutions sont les abscisses des points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec la droite horizontale d’équation \(y = k\).
Résolution graphique de l’inéquation \(f(x) \leq k\) : c’est l’ensemble des \(x\) pour lesquels \(\mathcal{C}_f\) est sous (ou sur) la droite \(y = k\).
Résolution graphique de \(f(x) = g(x)\) : abscisses des points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
Application
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Comparer sur \(\mathbb{R}_+\) les fonctions \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(g(x) = x\).
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Soient \(f(x) = x^2 + 1\) et \(g(x) = 2x\). Résoudre \(f(x) \geq g(x)\) par tableau de signe.
Synthèse
Schéma d’étude d’une fonction
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Déterminer \(\mathcal{D}_f\).
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Étudier la parité et la périodicité (pour restreindre le domaine d’étude).
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Étudier les variations (par taux ou décomposition \(g \circ f\)).
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Déterminer les extrémums et les points particuliers (intersections avec les axes).
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Dresser le tableau de variations.
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Tracer la courbe \(\mathcal{C}_f\).
Récapitulatif des variations sous opérations
| Opération | Conserve le sens | Inverse le sens |
|---|---|---|
| \(f + \lambda\) | toujours | jamais |
| \(\lambda f\) | si \(\lambda > 0\) | si \(\lambda < 0\) |
| \(g \circ f\) | si \(f\) et \(g\) mêmes sens | si \(f\) et \(g\) sens contraires |
Pièges classiques
Remarque
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Confondre période et autre caractéristique. Une fonction périodique vérifie \(f(x + T) = f(x)\) pour tous les \(x\), pas seulement quelques-uns.
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Composer sans vérifier les domaines. Pour \(g \circ f\), il faut s’assurer que \(f(I) \subset \mathcal{D}_g\) avant d’appliquer le théorème.
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Confondre maximum et extremum local. Un point peut être un maximum local sans être maximum absolu.
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Conclure trop vite par taux de variation. Le signe du taux doit valoir pour toutes les paires \(x_1, x_2\) de l’intervalle, pas pour une seule.
-
Inverser sens dans \(\lambda f\). Pour \(\lambda < 0\), il faut bien inverser le sens, pas le conserver.
Fin du chapitre 3 – Généralités sur les fonctions numériques