Table des matières
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
Soit \(f(x) = 3x^2 - 1\). Déterminer deux primitives \(F\) et \(G\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), puis calculer \(F(2) - F(0)\) et \(G(2) - G(0)\). Que remarquez-vous ?
Définition
Soit \(f\) continue sur un segment \([a;b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a;b]\). Le nombre \(F(b) - F(a)\) est appelé intégrale de \(f\) de \(a\) à \(b\), et noté :
\[\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a).\]
Cette définition ne dépend pas de la primitive choisie.
Exemple
« Calcul d’une intégrale élémentaire. »
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 (x + 1)\,dx\).
Solution. Une primitive de \(f(x) = x + 1\) est \(F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x\). Donc :
\[\int_0^1 (x+1)\,dx = F(1) - F(0) = \dfrac{1}{2} + 1 - 0 = \dfrac{3}{2}.\]
Propriétés de l’intégrale
Proposition
Soit \(f\) continue sur \(I\) et \(a, b, c \in I\).
-
\(\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0\).
-
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx\).
-
(Chasles) \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\).
Proposition
Soient \(f, g\) continues sur \([a;b]\) et \(k \in \mathbb{R}\).
-
\(\displaystyle\int_a^b (f + g)(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\).
-
\(\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx\).
Exemple
« Intégrale d’une valeur absolue (Chasles). »
Calculer \(\displaystyle\int_{-3}^2 |x|\,dx\).
Solution. Sur \([-3;0]\), \(|x| = -x\) ; sur \([0;2]\), \(|x| = x\). Par Chasles :
\[\int_{-3}^2 |x|\,dx = \int_{-3}^0 (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \left[-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-3}^0 + \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2 = \dfrac{9}{2} + 2 = \dfrac{13}{2}.\]
Application
Calculer :
-
\(\displaystyle\int_{-1}^2 (2x^3 - 5x^2 + 2)\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_1^2 \!\left(\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x}\right)\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_0^\pi \cos(2x)\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{2|x|}{x^2 + 1}\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_{-1}^5 |x^2 - 4x|\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_0^1 |e^{-x+1} - 1|\,dx\)
À faire à la maison
Calculer les intégrales suivantes :
-
\(\displaystyle\int_0^1 \!\left(1 - \dfrac{1}{x+1}\right)\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_{e^2}^{e^4} \dfrac{\ln x}{x}\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_0^4 x\sqrt{1 + x^2}\,dx\)
Intégrale, ordre et valeur moyenne
Proposition
Soient \(f, g\) continues sur \([a;b]\) avec \(a \leq b\).
-
Si \(f \geq 0\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\).
-
Si \(f \leq g\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx\).
Définition
Soit \(f\) continue sur \([a;b]\), \(a < b\). La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est :
\[\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx.\]
Il existe au moins un \(c \in [a;b]\) tel que \(f(c) = \mu\).
Exemple
« Calcul d’une valeur moyenne. »
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = \dfrac{2x}{1+x^2}\) sur \([1;3]\).
Solution. \(f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\) avec \(u(x) = 1 + x^2\). Une primitive est \(\ln(1+x^2)\). Donc :
\[\int_1^3 \dfrac{2x}{1+x^2}\,dx = [\ln(1+x^2)]_1^3 = \ln 10 - \ln 2 = \ln 5.\]
Valeur moyenne : \(\mu = \dfrac{1}{3-1} \times \ln 5 = \dfrac{\ln 5}{2}\).
Application
-
Montrer que \(\displaystyle\int_1^2 \ln(x^2 + 1)\,dx \geq 0\).
-
Encadrer \(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\sin x}{x^2}\,dx\).
-
Calculer la valeur moyenne de \(x \mapsto \dfrac{\ln^2 x + x}{x}\) sur \([1;e]\).
À faire à la maison
Soient \(K = \displaystyle\int_0^{\ln 2} \dfrac{e^t - 1}{e^t + 1}\,dt\) et \(L = \displaystyle\int_0^{\ln 2} \dfrac{1}{e^t + 1}\,dt\).
-
Calculer \(K + L\) et \(K + 2L\).
-
En déduire les valeurs de \(K\) et \(L\).
Techniques de calcul d’intégrales
Reconnaissance d’une primitive
Exemple
« Reconnaissance de la forme \(\dfrac{u'}{u}\). »
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{e^x}{e^x + 1}\,dx\).
Solution. On pose \(u(x) = e^x + 1 > 0\), \(u'(x) = e^x\). L’intégrande est \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\), primitive \(\ln u\) :
\[\int_0^{\pi/4} \dfrac{e^x}{e^x + 1}\,dx = [\ln(e^x + 1)]_0^{\pi/4} = \ln(e^{\pi/4} + 1) - \ln 2.\]
Décomposition d’une fraction rationnelle
Exemple
« Décomposition. »
Calculer \(\displaystyle\int_2^3 \dfrac{x^2 - 6x + 4}{x - 1}\,dx\).
Solution. Division euclidienne : \(\dfrac{x^2 - 6x + 4}{x - 1} = x - 5 - \dfrac{1}{x - 1}\). Donc :
\[\int_2^3 \dfrac{x^2 - 6x + 4}{x - 1}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - 5x - \ln|x-1|\right]_2^3 = \left(\dfrac{9}{2} - 15 - \ln 2\right) - (2 - 10 - 0) = -\dfrac{5}{2} - \ln 2.\]
Linéarisation des polynômes trigonométriques
Remarque
Pour calculer \(\int \cos^n x\,dx\) ou \(\int \sin^n x\,dx\), on linéarise via les formules d’Euler ou les formules trigonométriques classiques.
Application
Calculer :
-
\(I = \displaystyle\int_2^e \dfrac{1}{x(\ln x + 1)}\,dx\)
-
\(J = \displaystyle\int_0^1 t\,e^{t^2}\,dt\)
-
\(K = \displaystyle\int_0^{\pi/3} \tan x\,dx\)
-
\(L = \displaystyle\int_0^{\pi} \cos^3 x\,dx\) (linéariser)
À faire à la maison
-
Vérifier que \(\dfrac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\), et calculer \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}\,dx\).
-
Calculer \(\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/3} \!\left(\dfrac{1}{\cos^2 x} - 4\cos(2x)\right)\,dx\).
Intégration par parties (IPP)
Proposition
Soient \(u, v\) deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a;b]\).
\[\int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx.\]
Remarque
Stratégie : choisir \(v\) pour que sa dérivée se simplifie (souvent \(v = \ln\), \(v =\) polynôme), et \(u'\) pour qu’il s’intègre facilement.
Exemple
« IPP avec polynôme et exponentielle. »
Calculer \(I = \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx\).
Solution. On pose \(v(x) = x\), \(u'(x) = e^x\), donc \(v'(x) = 1\), \(u(x) = e^x\) :
\[I = [x\,e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1.\]
Exemple
« IPP avec logarithme. »
Calculer \(I = \displaystyle\int_1^e x^2 \ln x\,dx\).
Solution. On pose \(v(x) = \ln x\), \(u'(x) = x^2\), donc \(v'(x) = \dfrac{1}{x}\), \(u(x) = \dfrac{x^3}{3}\) :
\[I = \left[\dfrac{x^3 \ln x}{3}\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^2}{3}\,dx = \dfrac{e^3}{3} - \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^e = \dfrac{e^3}{3} - \dfrac{e^3 - 1}{9} = \dfrac{2e^3 + 1}{9}.\]
Application
Calculer par IPP :
-
\(\displaystyle\int_1^e (2x - 1)\,e^{-x/2}\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_2^e \ln(x + 2)\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_0^\pi x^2 \cos x\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\,dx\)
À faire à la maison
Calculer par IPP :
-
\(\displaystyle\int_1^{e^2} x(\ln x)^2\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_1^2 x\sqrt{3 - x}\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(x+1)^2}{e^x}\,dx\)
-
\(\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin x\,e^x\,dx\)
Calcul d’aires
Proposition
Soit \(f\) continue sur \([a;b]\). L’aire (en unités d’aire) du domaine délimité par \((C_f)\), l’axe \((Ox)\) et les droites \(x = a\), \(x = b\) est :
\[\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx.\]
Proposition
Soient \(f, g\) continues sur \([a;b]\). L’aire du domaine \((\Delta)\) délimité par \((C_f)\), \((C_g)\) et les droites \(x = a\), \(x = b\) est :
\[\mathcal{A}(\Delta) = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx.\]
Remarque
Unité d’aire (u.a.) : si le repère est orthogonal avec \(\|\vec{i}\| = \alpha\) et \(\|\vec{j}\| = \beta\), alors \(1\) u.a. \(= \alpha \times \beta\) unités du système choisi (cm\(^2\), etc.).
Exemple
« Aire entre deux courbes. »
Soient \(f(x) = 2x^2 + 1\) et \(g(x) = x^2 + x + 1\). Calculer l’aire du domaine entre \((C_f)\), \((C_g)\), \(x = 0\) et \(x = 2\).
Solution. \(f(x) - g(x) = x^2 - x = x(x - 1)\). Sur \([0;1]\), \(f - g \leq 0\) ; sur \([1;2]\), \(f - g \geq 0\). Donc :
\[\mathcal{A} = \int_0^1 (g - f)\,dx + \int_1^2 (f - g)\,dx = \int_0^1 (x - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - x)\,dx.\]
\(\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\).
\(\int_1^2 (x^2 - x)\,dx = \dfrac{8}{3} - 2 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\).
Total : \(\mathcal{A} = 1\) u.a.
Application
Le plan est orthonormé d’unité \(1\) cm. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe de \(f(x) = \sin x\), l’axe \((Ox)\) et les droites \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) et \(x = \dfrac{\pi}{2}\) (en cm\(^2\)).
À faire à la maison
Soit \(f(x) = \dfrac{1}{x(1 - \ln x)}\) sur \(]0;e[\,\cup\,]e;+\infty[\), repère orthonormé d’unité \(2\) cm.
-
Montrer que \(\displaystyle\int_1^{\sqrt{e}} \dfrac{1}{x(1-\ln x)}\,dx = \ln 2\).
-
Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine délimité par \((C_f)\), l’axe \((Ox)\), \(x = 1\) et \(x = \sqrt{e}\).
Calcul de volumes
Proposition
Soit \(f\) continue sur \([a;b]\). Le volume du solide engendré par la rotation d’un tour complet de la courbe \((C_f)\) autour de l’axe \((Ox)\) est :
\[V = \pi \int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx \quad \text{(en unités de volume)}.\]
Exemple
« Volume de révolution. »
Calculer le volume engendré par la rotation de \(f(x) = e^x\) sur \([0;1]\) autour de \((Ox)\).
Solution.
\[V = \pi \int_0^1 e^{2x}\,dx = \pi \left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{\pi(e^2 - 1)}{2}\;\text{u.v.}\]
Application
Calculer le volume engendré par la rotation autour de \((Ox)\) de :
-
\(f(x) = x\,e^{x/2}\) sur \([0;1]\).
-
\(f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{\cos x}\) sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{4}\right]\).
À faire à la maison
Calculer le volume engendré par la rotation autour de \((Ox)\) de la courbe de \(f(x) = \sqrt{x}\) sur \([0;4]\), et celle de \(g(x) = \cos x\) sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Tableau récapitulatif des primitives usuelles
| \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(a\) (constante) | \(ax\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n \in \mathbb{Q}\setminus\{-1\}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x \neq 0\) |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}\,e^{ax+b}\) | \(a \neq 0\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | |
| \(\sin(ax+b)\) | \(-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)\) | \(a \neq 0\) |
| \(\cos(ax+b)\) | \(\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)\) | \(a \neq 0\) |
| \(1 + \tan^2 x\) | \(\tan x\) | \(x \neq \tfrac{\pi}{2} + k\pi\) |
| \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)|\) | \(u(x) \neq 0\) |
| \(u'(x)\,e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)}\) | |
| \(\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}\) | \(-\dfrac{1}{u(x)}\) | \(u(x) \neq 0\) |
| \(u'(x)\,(u(x))^r\) | \(\dfrac{(u(x))^{r+1}}{r+1}\) | \(r \in \mathbb{Q}\setminus\{-1\}\) |
| \(u'(x)\cos(u(x))\) | \(\sin(u(x))\) | |
| \(u'(x)\sin(u(x))\) | \(-\cos(u(x))\) | |
| \(\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\) | \(2\sqrt{u(x)}\) | \(u(x) > 0\) |