Série d’exercices

1. Déterminer le domaine de définition de chaque fonction :

   1. \(f_1(x) = \ln(x^2 - 4)\)

   2. \(f_2(x) = \ln\!\left(\dfrac{x - 1}{x + 2}\right)\)

   3. \(f_3(x) = \ln(x^2 - 5x + 6)\)

2. Simplifier puis calculer (sans calculatrice) :

   1. \(A = \ln(80) - 4\ln(2) - \ln(5)\)

   2. \(B = 2\ln(\sqrt{18}) - \ln(2) - 2\ln(3)\)

   3. \(C = \ln(e^3) - \ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right) + 4\ln(\sqrt{e})\)

   4. \(D = \ln\!\left(\dfrac{e^4 \sqrt{e}}{e^2}\right)\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(\ln(3x - 1) = \ln(x + 5)\)

2. \(\ln(x^2 - 1) = \ln(2x + 2)\)

3. \(\ln(2x - 1) = \dfrac{3}{2}\)

4. \(2(\ln x)^2 + \ln(x) - 6 = 0\)

5. \(3(\ln x)^2 + 2\ln(x) - 1 = 0\)

6. \(\ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3)\)

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

   1. \(\ln(1 - x) > \ln(x^2 + 1)\)

   2. \(\ln(6 - 2x) \leq 0\)

   3. \(\dfrac{\ln(x) + 3}{\ln(x) - 1} \geq -1\)

   4. \(\ln(x^2 - 3x + 2) > 0\)

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases} 3\ln(x) + \ln(y) = 2 \\ 2\ln(x) - 3\ln(y) = 3 \end{cases}\).

Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) - x\)

2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\ln x}\)

3. \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\ln x}\)

4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^3}{x}\)

5. \(\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln(x)^2\)

6. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x\,\ln\!\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\)

7. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \ln\!\left(\dfrac{3x + 5}{2x + 1}\right)\)

8. \(\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}^-} \ln\!\left(\dfrac{3 - 2x}{x + 1}\right)\)

Calculer la dérivée de chaque fonction sur un intervalle approprié :

1. \(f_1(x) = \ln(x^2 + 1)\)

2. \(f_2(x) = \ln|\cos x|\)

3. \(f_3(x) = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)\)

4. \(f_4(x) = (\ln x)^3 - 2\ln(x^3)\)

5. \(f_5(x) = x^2 \ln(1 + x^2)\)

6. \(f_6(x) = \ln\!\left(\dfrac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right)\)

Déterminer une primitive de chaque fonction :

1. \(f_1(x) = \dfrac{2}{2x + 1}\) sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\)

2. \(f_2(x) = \dfrac{x^3}{x^4 + 2}\) sur \(\mathbb{R}\)

3. \(f_3(x) = \dfrac{1}{x - 1}\) sur \(]-\infty\,;1[\)

4. \(f_4(x) = \tan x\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\)

5. \(f_5(x) = \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1}\) (sur \(I\) approprié)

6. \(f_6(x) = \dfrac{1}{x \ln x}\) sur \(]1\,;+\infty[\)

Soit \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x - \ln x\).

1. Déterminer \(D_f\) et calculer \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

2. Étudier les branches infinies.

3. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).

4. Tracer la courbe \((\mathcal{C}_f)\) (allure).

5. Démontrer que pour tout \(x > 0\), \(\ln(x) \leq x - 1\).

Soit \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

2. Calculer \(f'(x)\) et étudier ses variations. Déterminer le maximum de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\).

3. En déduire que pour tout \(x > 0\), \(\ln(x) \leq \dfrac{x}{e}\).

4. Application : comparer \(e^\pi\) et \(\pi^e\) (indication : utiliser que \(f(\pi) < f(e)\)).

Pour \(a > 0\), \(a \neq 1\), on rappelle \(\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}\).

1. Calculer \(\log_2(8)\), \(\log_3(27)\), \(\log_5\!\left(\dfrac{1}{125}\right)\).

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\log_3(2x)\,(\log_5(x) - 1) = 0\).

3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2(\log x)^2 - 19\,\log(x) - 10 = 0\).

4. Résoudre \(\log_2(x) + \log_4(x) = 3\) (indication : \(\log_4(x) = \dfrac{\log_2(x)}{2}\)).

Soit \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln(x)\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

2. Vérifier que \(f(x) = \ln x \,(\ln x - 2)\) et résoudre \(f(x) = 0\).

3. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe, et dresser le tableau de variations de \(f\).

4. Montrer que la courbe \((\mathcal{C}_f)\) admet un point d’inflexion à déterminer.

5. Déterminer l’équation de la tangente à \((\mathcal{C}_f)\) au point d’abscisse \(x = 1\).