Polynômes
Table des matières
Définition et vocabulaire
Définition
On appelle polynôme (ou fonction polynomiale) toute fonction \(P\) définie sur \(\mathbb{R}\) par une expression de la forme :
\[P(x)=a_{n}\,x^{n}+a_{n-1}\,x^{n-1}+\cdots+a_{1}\,x+a_{0},\]
où \(n\in\mathbb{N}\) et \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\) sont des nombres réels appelés coefficients de \(P\).
Le terme \(a_{k}\,x^{k}\) est appelé terme de degré \(k\) et \(a_{k}\) coefficient du terme de degré \(k\).
Définition
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Le polynôme \(P\) tel que tous les coefficients sont nuls est appelé polynôme nul, noté \(0\).
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Si \(a_{n}\neq 0\), l’entier \(n\) est appelé le degré de \(P\), et l’on note \(\mathrm{d}^{\circ} P=n\).
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Le coefficient \(a_{n}\) (correspondant au plus haut degré) est appelé coefficient dominant.
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Le polynôme nul n’a pas de degré (par convention).
Exemple
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\(P(x)=2x^{3}-5x+1\) : \(\mathrm{d}^{\circ} P=3\), coefficient dominant \(=2\).
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\(Q(x)=-4x^{2}+x\) : \(\mathrm{d}^{\circ} Q=2\), coefficient dominant \(=-4\).
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\(R(x)=7\) : \(\mathrm{d}^{\circ} R=0\) (polynôme constant non nul).
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\(S(x)=0\) : polynôme nul, sans degré.
Égalité de deux polynômes
Théorème
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes. Alors \(P=Q\) si et seulement si :
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\(\mathrm{d}^{\circ} P=\mathrm{d}^{\circ} Q\),
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leurs coefficients respectifs sont égaux deux à deux.
Remarque
Méthode d’identification : si \(P(x)=Q(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on peut identifier les coefficients de chaque puissance de \(x\).
Exemple
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(a(x^{2}+1)+b(x-1)+c=2x^{2}-x+3\).
En développant : \(a\,x^{2}+a+b\,x-b+c=2x^{2}-x+3\), soit \(a\,x^{2}+b\,x+(a-b+c)=2x^{2}-x+3\).
Identification : \(a=2\), \(b=-1\), \(a-b+c=3 \Rightarrow 2+1+c=3 \Rightarrow c=0\).
Opérations sur les polynômes
Définition
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes non nuls.
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La somme \(P+Q\) est obtenue en additionnant les coefficients des termes de même degré.
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Le produit \(P\times Q\) est obtenu en développant.
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes non nuls.
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\(\mathrm{d}^{\circ}(P+Q)\leq \max(\mathrm{d}^{\circ} P,\mathrm{d}^{\circ} Q)\).
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\(\mathrm{d}^{\circ}(P\times Q)=\mathrm{d}^{\circ} P + \mathrm{d}^{\circ} Q\).
Exemple
Soient \(P(x)=2x^{2}-x+3\) et \(Q(x)=x^{3}+x-1\).
\[\begin{align*} P(x)+Q(x) &= x^{3}+2x^{2}+0\cdot x+2 = x^{3}+2x^{2}+2.\\ P(x)\times Q(x) &= (2x^{2}-x+3)(x^{3}+x-1) \\ &= 2x^{5}+2x^{3}-2x^{2}-x^{4}-x^{2}+x+3x^{3}+3x-3 \\ &= 2x^{5}-x^{4}+5x^{3}-3x^{2}+4x-3. \end{align*}\]
On vérifie : \(\mathrm{d}^{\circ}(PQ)=5=2+3\).
Division euclidienne par \(x-\alpha\)
Théorème
Théorème (division euclidienne par \(x-\alpha\)).
Soient \(P\) un polynôme et \(\alpha\in\mathbb{R}\).
Il existe un unique polynôme \(Q\) et un unique réel \(r\) tels que :
\[P(x)=(x-\alpha)\,Q(x)+r.\]
\(Q\) est appelé le quotient et \(r\) le reste de la division.
Avec les notations du théorème :
\[r=P(\alpha).\]
Exemple
Effectuer la division euclidienne de \(P(x)=2x^{3}-5x^{2}+x+3\) par \(x-2\).
On pose :
\[\begin{array}{l|l} 2x^{3}-5x^{2}+x+3 & x-2 \\ \hline 2x^{3}-4x^{2} & 2x^{2}-x-1 \\ \hline \phantom{2x^{3}-}-x^{2}+x \\ \phantom{2x^{3}-}-x^{2}+2x \\ \hline \phantom{2x^{3}-x^{2}-}-x+3 \\ \phantom{2x^{3}-x^{2}-}-x+2 \\ \hline \phantom{2x^{3}-x^{2}-3x+}1 \end{array}\]
Donc : \(P(x)=(x-2)(2x^{2}-x-1)+1\), c’est-à-dire \(Q(x)=2x^{2}-x-1\) et \(r=1\).
Vérification : \(P(2)=2\times 8-5\times 4+2+3=16-20+2+3=1=r\).
Méthode de Hörner
Remarque
Schéma de Hörner pour diviser \(P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}\) par \(x-\alpha\) : on dispose les coefficients dans un tableau, et l’on calcule de proche en proche.
Exemple : \(P(x)=2x^{3}-5x^{2}+x+3\) divisé par \(x-2\) (\(\alpha=2\)).
\[\begin{array}{c|cccc} & 2 & -5 & 1 & 3 \\ \alpha=2 & & 2\cdot 2=4 & 2\cdot(-1)=-2 & 2\cdot(-1)=-2 \\ \hline & 2 & -1 & -1 & 1 \;=\; r \end{array}\]
On lit le quotient : \(Q(x)=2x^{2}-x-1\) et le reste : \(r=1\).
Racine d’un polynôme et factorisation
Définition
Un réel \(\alpha\) est une racine (ou un zéro) du polynôme \(P\) si :
\[P(\alpha)=0.\]
Théorème
Théorème. Soit \(P\) un polynôme et \(\alpha\in\mathbb{R}\). Les énoncés suivants sont équivalents :
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\(\alpha\) est une racine de \(P\).
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\(P(\alpha)=0\).
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\((x-\alpha)\) divise \(P(x)\), c’est-à-dire il existe un polynôme \(Q\) tel que :
\[P(x)=(x-\alpha)\,Q(x).\]
Exemple
Soit \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3\).
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Vérifier que \(1\) est une racine de \(P\).
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Factoriser \(P(x)\) par \((x-1)\).
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Factoriser complètement \(P(x)\).
Résolution.
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\(P(1)=1-3-1+3=0\). Donc \(1\) est racine.
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Division euclidienne (Hörner avec \(\alpha=1\)) :
\[\begin{array}{c|cccc} & 1 & -3 & -1 & 3 \\ \alpha=1 & & 1 & -2 & -3 \\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array}\]
Quotient \(Q(x)=x^{2}-2x-3\). Donc \(P(x)=(x-1)(x^{2}-2x-3)\). -
Factoriser \(x^{2}-2x-3\) : discriminant \(\Delta=4+12=16\). Racines \(\dfrac{2\pm 4}{2}=3\) ou \(-1\). Donc \(x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)\).
Conclusion : \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+1)\).
Vérification : \(P(3)=(2)(0)(4)=0\) et \(P(-1)=(-2)(-4)(0)=0\).
Un polynôme non nul de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines réelles distinctes.
Exercice n°1
Soit \(P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6\).
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Vérifier que \(-1\) est une racine de \(P\).
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Factoriser \(P(x)\) par \((x+1)\).
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Résoudre l’équation \(P(x)=0\).
Exercice n°2
Effectuer la division euclidienne de \(P(x)=2x^{4}-x^{3}+3x-1\) par \(D(x)=x-1\).