Série d'exercices 2ème Bac

Série d’exercices

5 min de lecture · Calcul de probabilités
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Exercice n°1

  1. Une porte d’immeuble est commandée par un code : une lettre parmi \(\{A, B, C\}\) suivie de trois chiffres parmi \(\{1, 2, \ldots, 9\}\).

    1. Combien de codes peut-on proposer ?

    2. Combien de codes commencent par \(A\) ?

    3. Combien de codes comportent trois chiffres distincts ?

  2. Une association de \(50\) membres élit un bureau de \(5\) personnes (président, vice-président, secrétaire, trésorier, vice-trésorier ; sans cumul). Combien de bureaux possibles ?

  3. Combien d’anagrammes du mot « MAISON » ? du mot « MISSISSIPPI » ?

  4. De combien de façons peut-on ranger \(10\) livres distincts sur une étagère ?

Exercice n°2

  1. Calculer \(C_8^4\), \(C_{10}^3\), \(C_{49}^6\).

  2. Une urne contient \(3\) boules blanches et \(5\) noires. On tire simultanément \(4\) boules. Combien de tirages contiennent :

    1. exactement \(1\) blanche ?

    2. exactement \(2\) blanches ?

    3. au moins \(1\) blanche ?

    4. \(4\) noires ?

  3. À l’aide du binôme de Newton, développer \((2x - 1)^5\) et \((x + y)^6\).

  4. Démontrer que \(\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n\) (indication : développer \((1 + 1)^n\)).

  5. Démontrer la formule de Pascal : \(C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}\) pour \(0 \leq p < n\).

Exercice n°3

Un sac contient \(4\) boules rouges, \(3\) vertes, \(2\) blanches. On tire simultanément \(3\) boules.

  1. Calculer le nombre total de tirages.

  2. Calculer la probabilité de chaque événement :

    • \(A\) : « \(3\) boules rouges »

    • \(B\) : « \(3\) boules de même couleur »

    • \(C\) : « \(3\) couleurs distinctes »

    • \(D\) : « exactement \(1\) rouge »

    • \(E\) : « au moins \(1\) blanche »

    • \(F\) : « aucune blanche »

  3. Calculer \(P(D \cap E)\) et \(P(D \cup E)\).

Exercice n°4

  1. On lance une pièce non truquée \(3\) fois successivement.

    1. Donner \(\Omega\) et son cardinal.

    2. Soient \(A\) : « obtenir Face exactement une fois » et \(B\) : « obtenir Pile au plus deux fois ». Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(\overline{A})\), \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup B)\).

  2. On lance un dé cubique non truqué deux fois successivement. On note \((a, b)\) le résultat.

    1. Donner \(\Omega\) et son cardinal.

    2. Soient \(A\) : « les deux nombres sont égaux », \(B\) : « les deux nombres sont pairs », \(C\) : « le produit est \(12\) ». Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(C)\), \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup C)\).

Exercice n°5

Une classe de \(23\) élèves :

Redoublants Nouveaux Total
Garçons 8 3 11
Filles 7 5 12
Total 15 8 23

On choisit un élève au hasard (équiprobabilité). Soient \(G\) : « garçon », \(F\) : « fille », \(I\) : « redoublant ».

  1. Calculer \(P(G)\), \(P(F)\), \(P(I)\).

  2. Calculer \(P(G \cap I)\) et \(P(F \cap I)\).

  3. Sachant que l’élève est un garçon, calculer \(P(I \mid G)\).

  4. Calculer \(P(F \mid I)\), \(P(G \mid I)\). Interpréter.

  5. Les événements \(G\) et \(I\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Exercice n°6

Deux urnes :

  • \(U_1\) contient \(8\) billets de \(50\) MAD et \(2\) billets de \(100\) MAD.

  • \(U_2\) contient \(6\) billets de \(100\) MAD et \(6\) billets de \(200\) MAD.

On tire un billet de \(U_1\) puis un billet de \(U_2\).

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

  2. Calculer la probabilité de gagner exactement \(250\) MAD.

  3. Calculer la probabilité de gagner au moins \(250\) MAD.

  4. Sachant que le gain total est \(\geq 250\) MAD, calculer la probabilité que le premier tirage soit un \(100\) MAD.

Exercice n°7

Une maladie touche \(2\%\) des bovins. Un test est positif chez \(85\%\) des malades et négatif chez \(95\%\) des sains. On note \(M\) : « malade » et \(T\) : « test positif ».

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

  2. Calculer \(P(M \cap T)\), \(P(\overline{M} \cap T)\), et en déduire \(P(T)\).

  3. Calculer \(P(M \mid T)\). Commenter le résultat.

  4. Calculer \(P(\overline{M} \mid \overline{T})\).

Exercice n°8

Une urne contient \(6\) jetons numérotés de \(1\) à \(6\), indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. Soit \(X\) le gain défini par :

  • Si le numéro est pair : on gagne \(5\) DH.

  • Si le numéro est \(1\) : on gagne \(40\) DH.

  • Sinon (numéro \(3\) ou \(5\)) : on perd \(15\) DH.

  1. Déterminer \(X(\Omega)\) et la loi de probabilité de \(X\).

  2. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).

  3. Le jeu est-il favorable, défavorable ou équitable ?

  4. On joue à ce jeu \(100\) fois. Quel gain peut-on espérer en moyenne ?

Exercice n°9

Un tireur d’arc atteint la cible avec une probabilité \(p = \dfrac{2}{3}\) à chaque tir. Il effectue \(10\) tirs indépendants. Soit \(X\) le nombre de cibles atteintes.

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

  2. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).

  3. Calculer (au millième près) :

    1. \(P(X = 6)\)

    2. \(P(X = 0)\)

    3. \(P(X \geq 8)\)

    4. \(P(X \leq 5)\)

  4. Quel est le nombre minimum de tirs nécessaires pour que la probabilité de toucher la cible au moins une fois soit \(\geq 0{,}99\) ?

Exercice n°10

Un technicien contrôle des machines. On sait que :

  • \(20\%\) des machines sont sous garantie ;

  • \(0{,}2\%\) sont à la fois défectueuses et sous garantie ;

  • \(8{,}2\%\) sont défectueuses.

Soit \(G\) : « sous garantie », \(D\) : « défectueuse ».

  1. Calculer \(P(D \mid G)\).

  2. Calculer \(P(\overline{G} \cap D)\).

  3. La machine est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle soit sous garantie (à \(10^{-3}\) près).

  4. Les événements \(D\) et \(G\) sont-ils indépendants ? Justifier.

  5. On choisit \(n\) machines indépendamment. Soit \(X\) le nombre de machines défectueuses. Quelle est la loi de \(X\) ?

    1. Pour \(n = 50\), calculer \(P(X > 2)\) à \(10^{-3}\) près.

    2. Déterminer la plus grande valeur de \(n\) pour laquelle la probabilité que toutes les machines fonctionnent correctement reste \(\geq 0{,}4\).

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