Table des matières
Principe fondamental de dénombrement
Proposition
Si une situation de dénombrement s’effectue en \(p\) étapes successives, et que chacune peut être réalisée respectivement de \(n_1, n_2, \ldots, n_p\) manières différentes, alors le nombre total de possibilités est :
\[N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p.\]
Exemple
« Code à 4 chiffres. »
Combien de codes PIN (4 chiffres de \(0\) à \(9\), avec répétition possible) peut-on former ?
Solution. 4 étapes, chacune ayant \(10\) choix possibles : \(N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000\) codes.
Application
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Une porte d’immeuble est commandée par un code : une lettre parmi \(\{A, B, C\}\) suivie de trois chiffres parmi \(\{1, 2, \ldots, 9\}\). Combien de codes peut-on proposer ?
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Combien de codes commencent par \(A\) ? par \(B9\) ? Combien comportent trois chiffres distincts ?
À faire à la maison
Dans une entreprise de \(800\) employés, on relève : \(300\) hommes, \(352\) syndiqués, \(424\) mariés, \(188\) hommes syndiqués, \(166\) hommes mariés, \(208\) syndiqués mariés, \(144\) hommes mariés syndiqués.
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Combien de femmes célibataires non syndiquées ?
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Combien d’hommes mariés non syndiqués ?
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Combien de syndiqués célibataires ?
Arrangements
Définition
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n \geq 1\), \(p \in \mathbb{N}^*\).
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Un arrangement avec répétition de \(p\) éléments de \(E\) est un \(p\)-uplet \((x_1, \ldots, x_p)\). Le nombre de tels arrangements est \(n^p\).
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Un arrangement sans répétition de \(p\) éléments de \(E\) est un \(p\)-uplet \((x_1, \ldots, x_p)\) d’éléments deux à deux distincts (avec \(1 \leq p \leq n\)). Le nombre est :
\[A_n^p = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1) = \dfrac{n!}{(n-p)!}.\]
Remarque
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\(n^p\) : tirage successif avec remise de \(p\) boules dans une urne de \(n\) boules.
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\(A_n^p\) : tirage successif sans remise de \(p\) boules dans une urne de \(n\) boules.
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Convention : \(A_n^0 = 1\).
Exemple
« Tirage avec et sans remise. »
Un sac contient \(6\) boules numérotées de \(1\) à \(6\). Combien de tirages successifs de \(3\) boules : (a) avec remise ? (b) sans remise ?
Solution. (a) avec remise : \(6^3 = 216\). (b) sans remise : \(A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120\).
Application
Une association de \(20\) membres souhaite élire un président, un secrétaire et un trésorier (sans cumul). Combien de choix ?
À faire à la maison
Une urne contient \(6\) jetons verts, \(5\) rouges, \(3\) bleus. On tire \(4\) jetons successivement et sans remise.
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Nombre total de tirages possibles ?
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Nombre de tirages où les \(3\) premiers jetons sont verts.
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Nombre de tirages dont le premier est vert.
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Nombre de tirages comportant exactement un jeton vert.
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Nombre de tirages comportant au moins un jeton vert.
Permutations
Définition
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n \geq 1\).
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Une permutation de \(E\) est un arrangement sans répétition de tous ses éléments.
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Le nombre de permutations de \(E\) est noté \(n!\) (factorielle de \(n\)) avec :
\[n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1, \qquad 0! = 1.\]
Remarque
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\(n! = A_n^n\) ; \((n+1)! = (n+1) \times n!\).
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Permutations avec répétition. Si parmi \(n\) objets on a \(n_1\) de type 1, …, \(n_k\) de type \(k\) (avec \(n_1 + \cdots + n_k = n\)), le nombre de permutations distinctes est :
\[\dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}.\]
Exemple
« Anagrammes. »
Combien d’anagrammes du mot « MAMAN » peut-on former ?
Solution. \(5\) lettres : \(M, A, M, A, N\) — donc \(n_M = 2\), \(n_A = 2\), \(n_N = 1\). Nombre :
\[\dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \dfrac{120}{4} = 30.\]
Application
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Combien d’anagrammes du mot « JUIN » ? du mot « MAISON » ?
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De combien de façons peut-on ranger \(10\) livres sur une étagère ?
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Pour \(n \geq 3\), simplifier : \(\dfrac{n!}{(n-1)!}\), \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}\), \(\dfrac{(n-2)!}{n!}\).
À faire à la maison
Parmi les \(10\) participants à un tournoi d’échecs : \(4\) Français, \(3\) Américains, \(2\) Anglais, \(1\) Marocain. Si dans le classement on ne lit que la nationalité (et pas l’identité) de chaque joueur, à combien de classements distincts une telle liste correspond-elle ?
Combinaisons et binôme de Newton
Définition
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\) et \(p \in \mathbb{N}\) tel que \(0 \leq p \leq n\). Une combinaison de \(p\) éléments de \(E\) est une partie de \(E\) à \(p\) éléments. Le nombre de combinaisons est noté \(C_n^p\) avec :
\[C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}.\]
Remarque
\(C_n^p\) correspond à un tirage simultané de \(p\) boules dans une urne de \(n\) boules (sans ordre, sans répétition).
Proposition
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\(C_n^0 = C_n^n = 1\)
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\(C_n^1 = C_n^{n-1} = n\)
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Symétrie : \(C_n^p = C_n^{n-p}\)
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Pascal : \(C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}\)
Proposition
Pour tous réels \(a, b\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[(a+b)^n = \sum_{p=0}^{n} C_n^p\,a^{n-p}\,b^p = a^n + C_n^1 a^{n-1} b + \cdots + C_n^{n-1} a\,b^{n-1} + b^n.\]
Exemple
« Choix avec contrainte. »
Un groupe de \(8\) élèves : \(5\) filles et \(3\) garçons. On choisit \(3\) élèves au hasard. Combien de formations comportent exactement deux filles ?
Solution. Choix de \(2\) filles parmi \(5\) et \(1\) garçon parmi \(3\) :
\[C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30.\]
Application
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Calculer \(C_8^4\) ; combien de tirages au loto (6 numéros parmi 49) ?
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Une urne contient \(3\) boules blanches et \(5\) boules noires. On tire simultanément \(4\) boules. Calculer le nombre de tirages comportant : (a) une seule blanche, (b) au moins une blanche.
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Développer \((x+1)^6\) avec le binôme de Newton.
À faire à la maison
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Montrer que \(C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n\) (indication : développer \((1+1)^n\)).
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Montrer que \(p\,C_n^p = n\,C_{n-1}^{p-1}\).
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Une urne contient \(10\) boules numérotées de \(0\) à \(9\). On tire simultanément \(3\) boules.
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Nombre total de tirages possibles ?
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Nombre de tirages dont les chiffres sont tous pairs ?
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Nombre de tirages où le produit des chiffres est nul ?
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Développer \((2x - 1)^5\) et \((x + 2)^7\).
Probabilité d’un événement
Définition
Une expérience aléatoire a des résultats imprévisibles parmi un ensemble connu.
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Univers \(\Omega\) : ensemble de tous les résultats possibles.
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Événement : sous-ensemble de \(\Omega\). Événement élémentaire : singleton.
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Événement contraire de \(A\) : \(\overline{A} = \Omega \setminus A\).
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Intersection : \(A \cap B\) ; réunion : \(A \cup B\).
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Événements incompatibles : \(A \cap B = \emptyset\).
Définition
La probabilité d’un événement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre dans \([0;1]\). Si tous les événements élémentaires sont équiprobables (équiprobabilité) :
\[P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)} = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.\]
Proposition
Soient \(A, B\) deux événements.
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\(P(\Omega) = 1\), \(P(\emptyset) = 0\), \(0 \leq P(A) \leq 1\).
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\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
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\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
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Si \(A \cap B = \emptyset\) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Exemple
« Tirage simultané. »
Un sac contient \(4\) boules rouges, \(3\) vertes, \(2\) blanches. On tire simultanément \(3\) boules. Calculer \(P(A)\) où \(A\) : « obtenir 3 boules rouges ».
Solution. Cas possibles : \(C_9^3 = 84\). Cas favorables : \(C_4^3 = 4\). Donc \(P(A) = \dfrac{4}{84} = \dfrac{1}{21}\).
Application
Un sac contient \(4\) rouges, \(3\) vertes, \(2\) blanches. On tire \(3\) boules simultanément. Calculer \(P\) pour chaque événement :
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\(A\) : « 3 boules de même couleur »
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\(B\) : « 3 couleurs distinctes deux à deux »
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\(C\) : « exactement une rouge »
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\(D\) : « au moins une blanche »
À faire à la maison
On lance une pièce non truquée \(3\) fois successivement.
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À l’aide d’un arbre, déterminer \(\Omega\) et son cardinal.
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Soient \(A\) : « obtenir face exactement une fois » et \(B\) : « obtenir pile au plus deux fois ». Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(\overline{A})\), \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup B)\).
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Soit \(C\) : « obtenir trois résultats identiques ». \(A\) et \(C\) sont-ils incompatibles ?
Probabilité conditionnelle – Indépendance
Définition
Soit \(B\) un événement avec \(P(B) > 0\). La probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est :
\[P(A \mid B) = P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.\]
Proposition
Si \(P(B) > 0\) : \(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\).
Proposition
Si \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) forment un système complet d’événements (deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\), tous de probabilité non nulle), alors pour tout événement \(B\) :
\[P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B \mid A_i).\]
Cas particulier (\(n=2\), \(A_1 = A\), \(A_2 = \overline{A}\)) :
\[P(B) = P(A) \cdot P(B \mid A) + P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A}).\]
Définition
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).
De manière équivalente (si \(P(A), P(B) > 0\)) : \(P(A \mid B) = P(A)\) ou \(P(B \mid A) = P(B)\).
Exemple
« Test médical (Bayes). »
Une maladie touche \(2\%\) des bovins. Le test est positif dans \(85\%\) des cas chez un malade et négatif dans \(95\%\) des cas chez un sain. Quelle est la probabilité qu’un animal au test positif soit réellement malade ?
Solution. Notons \(M\) : malade, \(T\) : test positif. Données : \(P(M) = 0{,}02\), \(P(T \mid M) = 0{,}85\), \(P(\overline{T} \mid \overline{M}) = 0{,}95\) donc \(P(T \mid \overline{M}) = 0{,}05\).
\[P(T) = P(M)P(T \mid M) + P(\overline{M})P(T \mid \overline{M}) = 0{,}02 \times 0{,}85 + 0{,}98 \times 0{,}05 = 0{,}066.\]
\[P(M \mid T) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}02 \times 0{,}85}{0{,}066} = \dfrac{0{,}017}{0{,}066} \approx 0{,}258.\]
Soit environ \(25{,}8\%\).
Application
Deux urnes : \(U_1\) contient \(8\) billets de \(50\) MAD et \(2\) billets de \(100\) MAD ; \(U_2\) contient \(6\) billets de \(100\) MAD et \(6\) billets de \(200\) MAD. On tire un billet de \(U_1\) puis un de \(U_2\).
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Représenter par un arbre pondéré.
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Calculer la probabilité de gagner au moins \(250\) MAD.
À faire à la maison
Un technicien contrôle des machines : \(20\%\) sont sous garantie, \(0{,}2\%\) sont défectueuses et sous garantie, \(8{,}2\%\) sont défectueuses. Notons \(G\) : « sous garantie », \(D\) : « défectueuse ».
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Calculer \(P(G \cap D)\), \(P(G)\), \(P(D)\). En déduire \(P(D \mid G)\).
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Calculer \(P(\overline{G} \cap D)\).
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La machine est défectueuse : quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie (à \(10^{-3}\) près) ?
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Les événements \(D\) et \(G\) sont-ils indépendants ? Justifier.
Variable aléatoire – Loi binomiale
Variable aléatoire
Définition
Une variable aléatoire (v.a.) sur \(\Omega\) est une fonction \(X : \Omega \to \mathbb{R}\). L’ensemble des valeurs possibles est noté \(X(\Omega) = \{x_1, \ldots, x_n\}\). La loi de probabilité de \(X\) est la donnée des \(P(X = x_i)\), avec \(\sum_{i} P(X = x_i) = 1\).
Définition
Soit \(X\) une v.a. avec \(X(\Omega) = \{x_1, \ldots, x_n\}\).
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Espérance : \(E(X) = \sum_{i=1}^n x_i\,P(X = x_i)\).
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Variance : \(V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = \sum_i x_i^2\,P(X = x_i) - \big(E(X)\big)^2\).
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Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Exemple
« Calcul d’espérance et variance. »
Soit \(X\) de loi : \(P(X = -1) = \tfrac{1}{2}\), \(P(X = 1) = \tfrac{1}{4}\), \(P(X = 2) = \tfrac{1}{4}\). Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).
Solution.
\[\begin{align*} E(X) &= -1 \times \tfrac{1}{2} + 1 \times \tfrac{1}{4} + 2 \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}.\\ E(X^2) &= 1 \times \tfrac{1}{2} + 1 \times \tfrac{1}{4} + 4 \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4}.\\ V(X) &= \tfrac{7}{4} - \tfrac{1}{16} = \tfrac{27}{16}, \quad \sigma(X) = \tfrac{3\sqrt{3}}{4}. \end{align*}\]
Loi binomiale
Définition
Soit une expérience qui répète \(n\) fois indépendamment une même épreuve (épreuve de Bernoulli) où l’événement \(A\) a probabilité \(p\). Soit \(X\) la v.a. comptant le nombre de réalisations de \(A\). Alors \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\), et :
\[\forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}, \quad P(X = k) = C_n^k\,p^k\,(1-p)^{n-k}.\]
Proposition
Si \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) :
\[E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.\]
Exemple
« Loi binomiale. »
On lance une pièce non truquée \(5\) fois. Soit \(X\) le nombre de « face ». Donner la loi, \(E(X)\) et \(V(X)\).
Solution. \(X \sim \mathcal{B}(5, \tfrac{1}{2})\). \(X(\Omega) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). \(P(X = k) = C_5^k \times \dfrac{1}{32}\). \(E(X) = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\), \(V(X) = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\).
Application
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On lance un dé cubique équilibré. Soit \(A\) : « obtenir un diviseur de 3 ». Calculer \(P(A)\). On répète l’expérience \(3\) fois ; soit \(X\) le nombre de réalisations de \(A\). Donner la loi de \(X\).
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Un tireur d’arc atteint la cible avec probabilité \(\dfrac{2}{3}\). Il fait \(10\) tentatives indépendantes. Quelle est la probabilité d’atteindre la cible exactement \(6\) fois ?
À faire à la maison
Les utilisateurs de vélo d’une ville se répartissent en deux catégories disjointes : déplacements professionnels ou loisirs uniquement. Sondage : \(21\%\) ont moins de \(35\) ans (parmi eux \(68\%\) pour loisirs) ; parmi les \(\geq 35\) ans, seuls \(20\%\) utilisent le vélo professionnellement. Notons \(J\) : « moins de \(35\) ans », \(T\) : « usage professionnel ».
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Calculer \(P(J \cap T)\) à l’aide d’un arbre pondéré.
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Calculer la valeur exacte de \(P(T)\).
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Sachant qu’un cycliste utilise son vélo professionnellement, montrer que la probabilité qu’il ait moins de \(35\) ans est \(\approx 0{,}30\).
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On sélectionne \(120\) cyclistes professionnels (avec remise). \(30\%\) d’entre eux ont moins de \(35\) ans. Soit \(X\) le nombre de cyclistes du panel ayant moins de \(35\) ans.
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Donner la loi de \(X\). Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
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Calculer la probabilité qu’au moins \(50\) cyclistes du panel aient moins de \(35\) ans (calculatrice/à \(10^{-3}\) près).
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