Produit scalaire dans l’espace SM
Table des matières
Produit scalaire dans l’espace
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Produit scalaire dans l’espace
Définition
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l’espace. Si on les représente par \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\), alors \(O, A, B\) sont dans un plan : le produit scalaire se calcule dans ce plan :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \left\|\vec{u}\right\| \cdot \left\|\vec{v}\right\| \cdot \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).\]
Si \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Expression analytique en BON
Théorème
Dans une base orthonormée \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) de l’espace, soient \(\vec{u}(x, y, z)\) et \(\vec{v}(x', y', z')\). Alors :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'.\]
En particulier, \(\left\|\vec{u}\right\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), et la distance \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\).
Propriétés
Proposition
-
Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\).
-
Bilinéarité : \((\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) \cdot \vec{w} = \alpha (\vec{u} \cdot \vec{w}) + \beta (\vec{v} \cdot \vec{w})\).
-
Carré scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \left\|\vec{u}\right\|^2\).
-
Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \;\Leftrightarrow\; \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Vecteur normal et équation cartésienne d’un plan
Vecteur normal
Définition
Un vecteur normal à un plan \((P)\) est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur du plan.
Pour montrer que \(\vec{n}\) est normal à \((P)\), il suffit de vérifier qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de \((P)\).
Équation cartésienne d’un plan
Théorème
Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), le plan \((P)\) passant par \(A(x_0, y_0, z_0)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(a, b, c)\) a pour équation cartésienne :
\[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0,\]
soit \(a x + b y + c z + d = 0\) avec \(d = -(a x_0 + b y_0 + c z_0)\).
Réciproquement, si \(a x + b y + c z + d = 0\) avec \((a, b, c) \neq (0, 0, 0)\) est l’équation d’un plan, alors \(\vec{n}(a, b, c)\) en est un vecteur normal.
Exemple
Équation cartésienne du plan passant par \(A(2, -1, 3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1, 2, -1)\) :
\[1 \cdot (x - 2) + 2 \cdot (y + 1) - 1 \cdot (z - 3) = 0 \;\Leftrightarrow\; x + 2y - z + 3 = 0.\]
Droite perpendiculaire à un plan
Théorème
La droite \((D)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((P)\) a pour vecteur directeur tout vecteur normal \(\vec{n}\) à \((P)\).
Si \((P) : a x + b y + c z + d = 0\), \((D)\) a pour représentation paramétrique :
\[\begin{cases} x = x_A + a t \\ y = y_A + b t \\ z = z_A + c t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]
Distance d’un point à un plan
Théorème
Soit \((P) : a x + b y + c z + d = 0\) et \(M(x_0, y_0, z_0)\). La distance de \(M\) à \((P)\) est :
\[d(M, (P)) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\]
Exemple
Distance de \(M(1, 2, 3)\) au plan \((P) : 2x - y + 2z - 4 = 0\) :
\[d = \frac{|2 - 2 + 6 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|2|}{3} = \frac{2}{3}.\]
Sphère
Définition et équation cartésienne
Théorème
Dans un repère orthonormé, la sphère \(\mathcal{S}\) de centre \(\Omega(a, b, c)\) et rayon \(r > 0\) a pour équation :
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2.\]
Forme développée
Proposition
Une équation de la forme
\[x^2 + y^2 + z^2 - 2 a x - 2 b y - 2 c z + e = 0\]
représente :
-
Une sphère de centre \(\Omega(a, b, c)\) et rayon \(r = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - e}\) si \(a^2 + b^2 + c^2 - e > 0\).
-
Un point \(\{\Omega(a, b, c)\}\) si \(a^2 + b^2 + c^2 - e = 0\).
-
L’ensemble vide si \(a^2 + b^2 + c^2 - e < 0\).
On utilise la complétion du carré pour reconnaître une sphère.
Exemple
Étudier \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + 5 = 0\).
Sphère de diamètre \([AB]\)
Théorème
La sphère \(\mathcal{S}\) de diamètre \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k\)
Théorème
Soient \(A, B\) deux points fixes, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(k \in \mathbb{R}\). L’ensemble des \(M\) vérifiant \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k\) est :
-
Sphère de centre \(I\) et rayon \(\sqrt{k + \tfrac{AB^2}{4}}\) si \(k + \tfrac{AB^2}{4} > 0\).
-
Point \(\{I\}\) si \(k + \tfrac{AB^2}{4} = 0\).
-
Ensemble vide si \(k + \tfrac{AB^2}{4} < 0\).
Position relative sphère/plan
Théorème
Soit \(\mathcal{S}\) de centre \(\Omega\) et rayon \(r\), et \((P)\) un plan. On note \(d = d(\Omega, (P))\).
\(\bullet\)\(d > r\) : pas d’intersection (le plan ne coupe pas la sphère).
\(\bullet\)\(d = r\) : le plan est tangent à la sphère en un unique point.
\(\bullet\)\(d < r\) : le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon \(\sqrt{r^2 - d^2}\).
Synthèse
Récapitulatif
| Objet | Caractérisation |
|---|---|
| \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) (BON) | \(x x' + y y' + z z'\) |
| \(AB\) | \(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\) |
| \(\vec{u} \perp \vec{v}\) | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) |
| Plan par \(A\), normal \(\vec{n}(a,b,c)\) | \(a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0\) |
| \(d(M, (P))\) | \(\dfrac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\) |
| Sphère | \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2\) |
| Diamètre \([AB]\) | \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) |
| Sphère \(\cap\) plan | cercle si \(d < r\), point si \(d = r\), \(\emptyset\) si \(d > r\) |
Pièges classiques
Remarque
-
BON pour \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'\). Indispensable.
-
Vecteur normal. Doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
-
Sphère. \(a^2 + b^2 + c^2 - e > 0\) pour obtenir une vraie sphère (cas \(=0\) : un point ; cas \(<0\) : vide).
-
Distance à un plan. Toujours valeur absolue au numérateur.
Fin du chapitre 7 – Produit scalaire dans l’espace