Série d’exercices

Soient \(\vec{u}(1, -2, 3)\), \(\vec{v}(2, 1, -1)\), \(\vec{w}(0, 3, 4)\).

1. Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), \(\vec{u} \cdot \vec{w}\), \(\vec{v} \cdot \vec{w}\).

2. Calculer \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\), \(\|\vec{w}\|\).

3. Déterminer la mesure de l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

4. Trouver \(m\) pour que \(\vec{u}\) et \((m, 1, 1)\) soient orthogonaux.

1. Vérifier que les droites \((D_1)\) de vecteur directeur \((2, 1, -1)\) et \((D_2)\) de vecteur directeur \((1, -1, 1)\) sont orthogonales.

2. Soit \(\vec{u}(1, 2, 3)\). Trouver tous les vecteurs unitaires orthogonaux à \(\vec{u}\) contenus dans le plan \(y = 0\).

1. Plan passant par \(A(1, 2, -1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3, -1, 2)\).

2. Plan passant par \(A(0, 1, 2)\) et perpendiculaire à la droite \((D) : \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases}\).

3. Plan médiateur de \([AB]\) avec \(A(1, -1, 2)\) et \(B(3, 1, 0)\).

4. Plan passant par \(A(2, 0, 1)\) et parallèle au plan \((P) : 3x - y + 2z = 7\).

Soient \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\), \(C(0, 0, 3)\).

1. Trouver un vecteur normal à \((ABC)\).

2. Écrire l’équation cartésienne de \((ABC)\).

3. Calculer la distance de \(O\) à \((ABC)\).

1. Calculer \(d(M, (P))\) pour \(M(2, -1, 3)\) et \((P) : 2x - y + 2z - 5 = 0\).

2. Trouver tous les points sur l’axe \((Oz)\) à distance \(3\) du plan \((P) : x + 2y + 2z - 6 = 0\).

Soit \((P) : x + y - z + 2 = 0\) et \(A(2, 0, -1)\).

1. Calculer \(d(A, (P))\).

2. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \((P)\).

3. Déterminer le symétrique \(A'\) de \(A\) par rapport à \((P)\).

1. Sphère de centre \(\Omega(2, -3, 1)\) et rayon \(4\).

2. Reconnaître \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z - 4 = 0\).

3. Reconnaître \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 6z + 14 = 0\).

4. Sphère de diamètre \([AB]\) avec \(A(1, 2, 0)\) et \(B(3, 0, 4)\).

Soit \(\mathcal{S}\) de centre \(\Omega(1, -1, 2)\) et rayon \(\sqrt{14}\), et le plan \((P) : 2x - y + 3z + 5 = 0\).

1. Calculer \(d(\Omega, (P))\).

2. Étudier la position relative de \(\mathcal{S}\) et \((P)\).

3. Si l’intersection est un cercle, donner son centre et son rayon.

Soient \(A(1, 0, 0)\) et \(B(3, 0, 0)\).

1. Déterminer le lieu des \(M\) vérifiant \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).

2. Déterminer le lieu des \(M\) vérifiant \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -1\).

3. Déterminer le lieu des \(M\) vérifiant \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 5\).

Soient \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 0, 0)\), \(C(0, 2, 0)\).

1. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MC} = 0\).

2. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(MA = MB\).

\(ABCD\) est un tétraèdre avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 0, 0)\), \(C(0, 4, 0)\), \(D(0, 0, 5)\).

1. Donner l’équation cartésienne de chacune des faces.

2. Calculer le volume du tétraèdre.

3. Calculer la distance de \(A\) à la face \((BCD)\).

Dans le cube de sommets opposés \(A(0,0,0)\) et \(G(2,2,2)\), on considère la sphère inscrite (tangente aux \(6\) faces).

1. Donner le centre et le rayon de cette sphère.

2. Donner son équation cartésienne.

3. Vérifier que la diagonale \((AG)\) passe par le centre.