Série d’exercices

Dans un repère orthonormé, on donne \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et les points \(A(1\,;4)\), \(B(-2\,;3)\), \(C(0\,;-1)\).

1. Donner les coordonnées de \(A'\), \(B'\), \(C'\) images respectives de \(A,B,C\) par la translation \(t_{\overrightarrow{u}}\).

2. Vérifier que \(A'B'=AB\).

3. Comparer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B'}\).

Soient \(\Omega(2\,;-1)\) et \(A(5\,;3)\) dans un repère orthonormé.

1. Donner les coordonnées de \(A'\), image de \(A\) par la symétrie centrale \(S_{\Omega}\).

2. Vérifier que \(\Omega\) est le milieu de \([AA']\).

3. Donner les coordonnées de \(B'\), image de \(B(-3\,;4)\) par \(S_{\Omega}\).

Dans un repère orthonormé, soit \(M(3\,;-2)\).

1. Donner les coordonnées de \(M_{1}\), image de \(M\) par la symétrie d’axe \((Ox)\).

2. Donner les coordonnées de \(M_{2}\), image de \(M\) par la symétrie d’axe \((Oy)\).

3. Donner les coordonnées de \(M_{3}\), image de \(M\) par la symétrie centrale de centre \(O\).

4. Comparer \(M_{3}\) et le résultat de la composition \(S_{(Ox)}\circ S_{(Oy)}(M)\).

Soit \(h\) l’homothétie de centre \(\Omega(1\,;2)\) et de rapport \(k=3\).

1. Déterminer les coordonnées de \(A'=h(A)\) pour \(A(4\,;5)\).

2. Calculer \(\Omega A\) et \(\Omega A'\). Vérifier que \(\Omega A'=3\,\Omega A\).

3. Soit \(B(2\,;0)\). Donner les coordonnées de \(B'=h(B)\).

4. Comparer \(AB\) et \(A'B'\).

Soit \(h\) l’homothétie de centre \(\Omega(0\,;0)\) et de rapport \(k=-2\).

1. Donner les coordonnées de \(A'=h(A)\) pour \(A(2\,;3)\).

2. Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(I(3\,;-1)\) et de rayon \(2\).
   Donner le centre et le rayon de \(h((\mathcal{C}))\).

Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([AC]\), \([AB]\).

1. Soit \(G\) le centre de gravité de \(ABC\). Justifier que \(G\) est aussi le centre de gravité de \(A'B'C'\).

2. Montrer que \(A'B'C'\) est l’image de \(ABC\) par l’homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\dfrac{1}{2}\).

Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(O\) son centre. Soient \(E\) et \(F\) les milieux respectifs de \([AB]\) et \([CD]\).

1. Quelle est l’image du point \(A\) par la symétrie centrale de centre \(O\) ?

2. Quelle est l’image du segment \([AE]\) par cette symétrie ?

3. En déduire que \(O\) est le milieu de \([EF]\).

Dans le plan rapporté à un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) :

1. Soit \(h\) l’homothétie de centre \(\Omega(2\,;1)\) et de rapport \(k=-1\). Montrer que \(h\) est la symétrie centrale \(S_{\Omega}\).

2. Soit \(h'\) l’homothétie de centre \(\Omega'(0\,;0)\) et de rapport \(k=1\). Montrer que \(h'=\mathrm{Id}\) (identité).