Produit scalaire
Table des matières
Définition du produit scalaire
Définition
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs du plan.
Le produit scalaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), noté \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\), est le nombre réel défini par :
\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\|\times \|\overrightarrow{v}\|\times \cos\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})},\]
où \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}\) désigne l’angle entre les deux vecteurs.
Convention : si \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\) ou \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\), alors \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\).
Remarque
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Le produit scalaire est un nombre réel (pas un vecteur).
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Si \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\), on note aussi \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
Exemple
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) tels que \(\|\overrightarrow{u}\|=3\), \(\|\overrightarrow{v}\|=4\) et \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}=\dfrac{\pi}{3}\).
\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=3\times 4\times \cos\dfrac{\pi}{3}=12\times \dfrac{1}{2}=6.\]
Propriétés algébriques
Pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) du plan et tout réel \(k\) :
-
Commutativité : \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}\).
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Distributivité : \(\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}\).
-
Linéarité (scalaire) : \((k\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot(k\overrightarrow{v})=k(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})\).
Carré scalaire et norme
Définition
Le carré scalaire d’un vecteur \(\overrightarrow{u}\), noté \(\overrightarrow{u}^{\,2}\), est défini par :
\[\overrightarrow{u}^{\,2}=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=\|\overrightarrow{u}\|^{2}.\]
Identités remarquables vectorielles : pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) :
\[\begin{align*} (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^{2} &= \overrightarrow{u}^{\,2}+2\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^{\,2}, \\ (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^{2} &= \overrightarrow{u}^{\,2}-2\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^{\,2}, \\ (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) &= \overrightarrow{u}^{\,2}-\overrightarrow{v}^{\,2}. \end{align*}\]
Formule de polarisation : pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) :
\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\!\left[(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^{2}-\overrightarrow{u}^{\,2}-\overrightarrow{v}^{\,2}\right] =\dfrac{1}{2}\!\left[\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}\|^{2}-\|\overrightarrow{v}\|^{2}\right].\]
Expression analytique (repère orthonormé)
Théorème
Dans un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\). Alors :
\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'.\]
Conséquences :
-
\(\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).
-
Distance \(AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}\).
Exemple
Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}\).
\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=2\times(-1)+3\times 4=-2+12=10.\]
\[\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},\qquad \|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}.\]
Le cosinus de l’angle entre deux vecteurs non nuls est :
\[\cos\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|}.\]
Orthogonalité
Définition
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont dits orthogonaux (et l’on écrit \(\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\)) si :
\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0.\]
Remarque
Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
Dans un repère orthonormé, soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\).
\[\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v} \iff xx'+yy'=0.\]
Exemple
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}4\\ 6\end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=12-12=0\). Donc \(\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\).
Vecteur normal à une droite
Définition
Un vecteur \(\overrightarrow{n}\) non nul est un vecteur normal à une droite \((D)\) si \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à tout vecteur directeur de \((D)\).
Soit \((D):ax+by+c=0\) dans un repère orthonormé. Alors \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D)\), et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur.
Exemple
La droite \((D):2x-3y+1=0\) admet :
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Vecteur normal : \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix}\).
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Vecteur directeur : \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\).
On vérifie : \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=2\times 3+(-3)\times 2=0\) ✓
Théorème d’Al-Kashi
Théorème
Théorème d’Al-Kashi (généralisation de Pythagore).
Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) et \(\widehat{A}=\widehat{BAC}\) :
\[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\,\cos\widehat{A}.\]
Remarque
Si \(\widehat{A}=\dfrac{\pi}{2}\), alors \(\cos\widehat{A}=0\) et on retrouve \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) (théorème de Pythagore).
Exemple
Dans un triangle \(ABC\), on a \(AB=5\), \(AC=7\) et \(\widehat{BAC}=60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(BC\).
\[BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\dfrac{\pi}{3}=25+49-2\times 5\times 7\times \dfrac{1}{2}=74-35=39.\]
Donc \(BC=\sqrt{39}\).
Applications
Distance d’un point à une droite
Théorème
Soit \((D):ax+by+c=0\) une droite dans un repère orthonormé, et \(M(x_{M}\,;y_{M})\) un point du plan.
La distance de \(M\) à \((D)\) est :
\[d(M,(D))=\dfrac{|ax_{M}+by_{M}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\]
Exemple
Calculer la distance de \(M(3\,;-1)\) à \((D):2x+y-4=0\).
\[d(M,(D))=\dfrac{|2\times 3+(-1)-4|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac{|1|}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.\]
Équation cartésienne d’un cercle
Théorème
Le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rayon \(r>0\) a pour équation cartésienne :
\[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.\]
Exemple
Exemple 1. Le cercle de centre \(\Omega(2\,;-3)\) et de rayon \(5\) :
\[(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25.\]
Exemple 2. L’équation \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0\) représente-t-elle un cercle ?
On regroupe : \(x^{2}-4x+y^{2}+6y+9=0 \iff (x-2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9+9=0 \iff (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\).
Oui : c’est le cercle de centre \(\Omega(2\,;-3)\) et de rayon \(2\).
Le cercle de diamètre \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) vérifiant :
\[\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.\]
Exercice n°1
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;-1)\), \(C(5\,;3)\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
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En déduire la mesure de \(\widehat{BAC}\) (arrondie au degré près).
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Calculer la distance de \(C\) à la droite \((AB)\).
Exercice n°2
Soit \(ABCD\) un carré de côté \(a\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\).
Exercice n°3
Déterminer une équation du cercle de centre \(\Omega(-1\,;3)\) passant par \(A(2\,;-1)\).