Statistiques
Table des matières
Vocabulaire de base
Définition
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Une série statistique est constituée d’une population, d’un caractère étudié, et des valeurs prises par ce caractère.
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La population est l’ensemble des individus étudiés.
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Un élément de la population est appelé un individu.
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Le caractère (ou variable) est la propriété étudiée chez chaque individu.
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L’effectif total, noté \(N\), est le nombre total d’individus.
Définition
Le caractère peut être :
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Qualitatif : il prend des valeurs non numériques (ex : couleur, marque, sexe).
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Quantitatif : il prend des valeurs numériques. On distingue :
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discret : nombre fini ou dénombrable de valeurs (ex : nombre d’enfants).
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continu : prend ses valeurs dans un intervalle (ex : taille, poids). On regroupe alors les données par classes.
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Définition
Pour chaque valeur (ou classe) \(x_{i}\) :
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L’effectif \(n_{i}\) est le nombre d’individus prenant cette valeur.
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La fréquence \(f_{i}\) est définie par : \(f_{i}=\dfrac{n_{i}}{N}\).
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L’effectif total : \(N=\sum_{i=1}^{p}n_{i}\) et \(\sum_{i=1}^{p}f_{i}=1\).
Exemple
Notes obtenues par 20 élèves à un contrôle :
| Note \(x_{i}\) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_{i}\) | 3 | 5 | 6 | 4 | 2 | 20 |
| Fréquence \(f_{i}\) | 0,15 | 0,25 | 0,30 | 0,20 | 0,10 | 1 |
Paramètres de position
Moyenne
Définition
Pour une série statistique de valeurs \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{p}\) d’effectifs respectifs \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{p}\), la moyenne \(\overline{x}\) est :
\[\overline{x}=\dfrac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{p}x_{p}}{N}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}x_{i}=\sum_{i=1}^{p}f_{i}\,x_{i}.\]
Exemple
Avec l’exemple précédent :
\[\overline{x}=\dfrac{3\times 8+5\times 10+6\times 12+4\times 14+2\times 16}{20}=\dfrac{24+50+72+56+32}{20}=\dfrac{234}{20}=11{,}7.\]
Médiane
Définition
La médiane \(\mathrm{Me}\) d’une série statistique est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif. Autrement dit, au moins la moitié des valeurs sont \(\leq \mathrm{Me}\) et au moins la moitié des valeurs sont \(\geq \mathrm{Me}\).
Remarque
Méthode pratique : on ordonne les valeurs et on prend la valeur centrale.
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Si \(N\) est impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{N+1}{2}\).
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Si \(N\) est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).
Exemple
Pour la série \(8\,;8\,;8\,;10\,;10\,;10\,;10\,;10\,;12\,;12\,;12\,;12\,;12\,;12\,;14\,;14\,;14\,;14\,;16\,;16\) (\(N=20\)), la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 10 et 11 :
\[\mathrm{Me}=\dfrac{12+12}{2}=12.\]
Mode
Définition
Le mode \(\mathrm{Mo}\) est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif.
Une série peut avoir plusieurs modes (série multimodale).
Exemple
Dans l’exemple précédent, le mode est \(\mathrm{Mo}=12\) (effectif 6, le plus élevé).
Paramètres de dispersion
Étendue
Définition
L’étendue \(e\) d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
\[e=x_{\max}-x_{\min}.\]
Exemple
Pour la série précédente : \(e=16-8=8\).
Variance et écart-type
Définition
La variance \(V\) d’une série statistique de moyenne \(\overline{x}\) est :
\[V=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum_{i=1}^{p}f_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}.\]
L’écart-type \(\sigma\) est la racine carrée de la variance :
\[\sigma=\sqrt{V}.\]
Formule alternative (Koenig-Huygens) :
\[V=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}\,x_{i}^{2}-\overline{x}^{\,2}=\overline{x^{2}}-\overline{x}^{\,2}.\]
Exemple
Pour l’exemple (\(\overline{x}=11{,}7\)) :
\[\overline{x^{2}}=\dfrac{3\times 64+5\times 100+6\times 144+4\times 196+2\times 256}{20}=\dfrac{192+500+864+784+512}{20}=\dfrac{2852}{20}=142{,}6.\]
\[V=142{,}6-(11{,}7)^{2}=142{,}6-136{,}89=5{,}71,\qquad \sigma=\sqrt{5{,}71}\approx 2{,}39.\]
Remarque
Interprétation :
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Si \(\sigma\) est petit, les valeurs sont concentrées autour de la moyenne (série homogène).
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Si \(\sigma\) est grand, les valeurs sont dispersées (série hétérogène).
Représentations graphiques
Définition
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Pour un caractère qualitatif ou quantitatif discret : diagramme en bâtons, diagramme circulaire ou semi-circulaire.
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Pour un caractère quantitatif continu (classes) : histogramme.
Définition
Effectifs cumulés croissants : pour chaque valeur, on additionne les effectifs des valeurs inférieures ou égales.
Fréquences cumulées croissantes : idem avec les fréquences.
Exemple
| Note | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 6 | 4 | 2 |
| ECC | 3 | 8 | 14 | 18 | 20 |
| FCC | 0,15 | 0,40 | 0,70 | 0,90 | 1,00 |
Cas du caractère continu
Définition
Lorsque le caractère est continu, on regroupe les valeurs en classes \([a_{i};a_{i+1}[\).
Le centre de la classe \([a_{i};a_{i+1}[\) est \(c_{i}=\dfrac{a_{i}+a_{i+1}}{2}\).
On approxime alors les paramètres (moyenne, variance) en utilisant les centres des classes.
Exemple
Tailles en cm de 50 élèves :
| Classe | [150;160[ | [160;170[ | [170;180[ | [180;190[ |
|---|---|---|---|---|
| Centre \(c_{i}\) | 155 | 165 | 175 | 185 |
| Effectif \(n_{i}\) | 8 | 17 | 20 | 5 |
\[\overline{x}\approx\dfrac{8\times 155+17\times 165+20\times 175+5\times 185}{50}=\dfrac{8470}{50}=169{,}4\ \text{cm}.\]
Exercice n°1
On donne les âges (en années) des employés d’une entreprise :
| Âge | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 8 | 12 | 6 | 5 |
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Calculer l’effectif total et les fréquences.
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Déterminer le mode, la médiane et la moyenne.
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Calculer la variance et l’écart-type.
Exercice n°2
Voici la répartition des salaires mensuels (en milliers de DH) de 100 employés :
| Classe | [3;5[ | [5;7[ | [7;9[ | [9;11[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 30 | 40 | 20 | 10 |
Calculer le salaire moyen, la variance et l’écart-type.