Table des matières
Rappels (1BAC)
Définition
Soit \((u_n)_{n\in I}\) une suite numérique.
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Majorée : \(\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in I,\ u_n \le M\). Minorée : \(\exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in I,\ m \le u_n\). Bornée : majorée et minorée.
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Croissante (resp. décroissante, constante) : \(u_{n+1} \ge u_n\) (resp. \(\le\), \(=\)) pour tout \(n \in I\).
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Arithmétique de raison \(r\) : \(u_{n+1} = u_n + r\). Terme général : \(u_n = u_p + (n-p)r\). Somme : \(\sum_{k=p}^n u_k = \dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}\).
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Géométrique de raison \(q\) : \(u_{n+1} = q \cdot u_n\). Terme général : \(u_n = u_p \cdot q^{n-p}\). Somme (pour \(q \neq 1\)) : \(\sum_{k=p}^n u_k = u_p \cdot \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}\).
Exemple
On considère les suites suivantes :
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\(u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n-1}}\) pour \(n \ge 2\) ;
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\(\begin{cases} v_0 = 2 \\ v_{n+1} = u_n + 5 \end{cases}\) ;
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\(w_n = \dfrac{2n-1}{n+4}\) pour \(n \ge 0\) ;
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\((t_n)\) géométrique avec \(t_2 = 3/16\) et \(t_5 = 3/1024\).
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Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(\sqrt{2}\) et minorée par \(0\).
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Montrer que \((v_n)\) est arithmétique. Donner sa raison et exprimer \(v_n\).
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Étudier la monotonie de \((w_n)\).
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Pour \((t_n)\), déterminer la raison \(q\) et exprimer \(t_n\).
Application
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \dfrac{2u_n - 1}{u_n}\). On pose \(v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}\).
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Montrer que \((v_n)\) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
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Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
Limite d’une suite numérique
Définition
Soit \((u_n)\) une suite numérique et \(\ell \in \mathbb{R}\).
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\((u_n)\) converge vers \(\ell\), noté \(\lim u_n = \ell\), si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. La limite, si elle existe, est unique.
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\((u_n)\) diverge vers \(+\infty\) si tout intervalle \(]A, +\infty[\) contient tous les termes à partir d’un certain rang ; définition analogue pour \(-\infty\).
Proposition
Limites de référence :
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\(\lim \dfrac{1}{n^p} = 0\) pour \(p \in \mathbb{N}^*\).
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\(\lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0\).
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\(\lim n^p = +\infty\) pour \(p \in \mathbb{N}^*\).
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\(\lim \sqrt{n} = +\infty\).
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\((\cos n)\) et \(((-1)^n)\) n’ont pas de limite.
Suites particulières.
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Pour \(u_n = q^n\) : si \(q > 1\), \(\lim = +\infty\) ; si \(q = 1\), \(\lim = 1\) ; si \(|q| < 1\), \(\lim = 0\) ; si \(q \le -1\), pas de limite.
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Pour \(u_n = n^r\) (\(r \in \mathbb{Q}^*\)) : si \(r > 0\), \(\lim = +\infty\) ; si \(r < 0\), \(\lim = 0\).
Proposition
Opérations sur les limites : les règles classiques pour somme, produit, inverse et quotient s’appliquent. Formes indéterminées : \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{0}{0}\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\).
Exemple
Calculer les limites suivantes :
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\(\lim \dfrac{n+2}{n-8}\)
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\(\lim \sqrt{n^2 - 3n + 2} - n\)
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\(\lim \dfrac{2^n - 3^n}{2^n}\)
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\(\lim \dfrac{5^n - 3^n}{2^n + 5^n}\)
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\(\lim n^{0{,}5}\)
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\(\lim \dfrac{1}{\sqrt{n} - n}\)
Application
Calculer \(\lim 2 - \left(\dfrac{-7}{9}\right)^n\) et \(\lim n^3 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^n\).
À faire à la maison
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Calculer les limites suivantes :
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\(\lim \dfrac{\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}}{1}\)
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\(\lim \dfrac{n^3 + 2n - 1}{2n^3 - 5n^2 + 1}\)
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\(\lim \dfrac{4^n + 5^n}{4^n - 5^n}\)
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\(\lim n - \sqrt{n^2 + 3n + 1}\)
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Soit \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n} + 2\). Démontrer par la définition que \(\lim u_n = 2\).
Limite et relation d’ordre
Proposition
Soient \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) trois suites et \(\ell, \ell' \in \mathbb{R}\).
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Conservation de l’ordre : si \(u_n \le v_n\) à partir d’un certain rang et \(\lim u_n = \ell\), \(\lim v_n = \ell'\), alors \(\ell \le \ell'\). Attention : l’inégalité stricte ne se conserve pas.
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Théorème de comparaison : si \(|u_n - \ell| \le v_n\) à partir d’un certain rang et \(\lim v_n = 0\), alors \(\lim u_n = \ell\).
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Théorème des gendarmes : si \(w_n \le u_n \le v_n\) à partir d’un certain rang et \(\lim w_n = \lim v_n = \ell\), alors \(\lim u_n = \ell\).
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Critères de divergence : si \(v_n \le u_n\) à partir d’un certain rang et \(\lim v_n = +\infty\), alors \(\lim u_n = +\infty\) (idem pour \(-\infty\) avec \(\le\)).
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Convergence monotone : toute suite croissante majorée est convergente ; toute suite décroissante minorée est convergente.
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Divergence monotone : toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\) ; toute suite décroissante non minorée tend vers \(-\infty\).
Exemple
On considère les suites suivantes :
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\(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^2 + 1} + 2\) ;
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\(v_n = \dfrac{\sin n}{n^3 + 1}\) ;
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\(w_n = \cos n - 2n - 1\) ;
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\(t_n = 3n + 5\sin n\).
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Pour \((u_n)\) et \((v_n)\), encadrer la suite et en déduire sa limite.
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Pour \((w_n)\) et \((t_n)\), comparer avec une suite de référence et en déduire la limite.
Application
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \dfrac{8(u_n - 1)}{u_n + 2}\).
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Montrer que \((u_n)\) est minorée par \(3\) et majorée par \(4\).
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Montrer que \((u_n)\) est croissante.
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En déduire que \((u_n)\) converge.
À faire à la maison
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Soit \((u_n)\) définie par \(u_n = \dfrac{n + (-1)^n \sin n}{n^2 + 1}\). Démontrer que \(\lim u_n = 0\) par le théorème des gendarmes.
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Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + \dfrac{1}{2}\).
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Montrer par récurrence que \(u_n \in [0;1]\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
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Étudier la monotonie de \((u_n)\).
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Conclure quant à la convergence et calculer la limite éventuelle.
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Suites de la forme \(f(u_n)\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\)
Proposition
Soit \(f\) une fonction et \((u_n)\) une suite numérique.
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Limite de \(f(u_n)\) : si \(\lim u_n = \ell\) et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\lim f(u_n) = f(\ell)\).
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Limite d’une suite récurrente : si \(f\) continue sur un intervalle \(I\) stable par \(f\) (c.-à-d. \(f(I) \subset I\)), \(u_{n_0} \in I\), \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \((u_n)\) converge, alors la limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\).
Exemple
On considère les suites suivantes :
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\(u_n = \dfrac{\cos n}{n}\) pour \(n > 0\), et \(f(x) = \dfrac{x+1}{3+2x}\) ;
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\(\begin{cases} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{1+v_n}{2}} \end{cases}\) avec \(f(x) = \sqrt{(1+x)/2}\) sur \([0;1]\).
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Calculer \(\lim u_n\) et en déduire \(\lim f(u_n)\).
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Étudier les variations de \(f\) sur \([0;1]\) pour la deuxième suite et montrer que \(f([0;1]) \subset [0;1]\).
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Montrer que \((v_n)\) est croissante et bornée. En déduire la limite de \((v_n)\).
Application
Soit \(f(x) = \dfrac{3x+2}{x+2}\) et \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).
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Étudier les variations de \(f\) et déterminer \(f([0;2])\).
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Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n \in [0;2]\), que \((u_n)\) est croissante, et calculer sa limite.
Exercice n°1
Soit \(f(x) = \dfrac{5x-1}{x+3}\) et \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).
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Calculer \(f([1;2])\) et résoudre \(f(x) = x\).
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Montrer que \(u_n \in [1;2]\) pour tout \(n\), étudier les variations de \((u_n)\), et déterminer sa limite.
À faire à la maison
Soit \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) et \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).
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Étudier les variations de \(f\) sur \([0;+\infty[\).
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Vérifier que \(f([0;2]) \subset [0;2]\) et en déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \in [0;2]\).
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Résoudre dans \([0;2]\) l’équation \(f(x) = x\).
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Étudier la monotonie de \((u_n)\) et conclure.
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Démontrer que \(|u_{n+1} - 2| \leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\,|u_n - 2|\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), et en déduire \(\lim u_n\).