Transformations dans le plan
Table des matières
Dans tout ce chapitre, on considère le plan \((P)\) et différentes transformations qui à tout point \(M\) associent un unique point \(M'\), appelé l’image de \(M\).
La translation
Définition
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan.
La translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\), notée \(t_{\overrightarrow{u}}\), est la transformation qui à tout point \(M\) du plan associe l’unique point \(M'\) tel que :
\[\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}.\]
Remarque
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Si \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\), la translation est l’identité : \(M'=M\) pour tout \(M\).
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Translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\), puis de vecteur \(\overrightarrow{v}\) : revient à la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\).
Propriétés de la translation. La translation \(t_{\overrightarrow{u}}\) :
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Conserve les distances : \(A'B'=AB\) (c’est une isométrie).
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Conserve l’alignement, le milieu, le parallélisme.
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Conserve les angles (orientés et géométriques).
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Transforme une droite en une droite parallèle, un cercle en un cercle de même rayon.
Exemple
Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(M(1\,;5)\).
L’image \(M'=t_{\overrightarrow{u}}(M)\) vérifie \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}\), soit :
\[x_{M'}=x_{M}+3=4,\qquad y_{M'}=y_{M}-2=3.\quad\text{Donc } M'(4\,;3).\]
La symétrie centrale
Définition
Soit \(\Omega\) un point du plan.
La symétrie centrale de centre \(\Omega\), notée \(S_{\Omega}\), est la transformation qui à tout point \(M\) du plan associe l’unique point \(M'\) tel que :
\[\Omega\ \text{soit le milieu de}\ [MM'], \quad\text{c'est-à-dire :}\quad \overrightarrow{\Omega M'}=-\overrightarrow{\Omega M}.\]
Remarque
La symétrie centrale de centre \(\Omega\) est aussi une rotation d’angle \(\pi\) (180°) autour de \(\Omega\).
Propriétés de la symétrie centrale. \(S_{\Omega}\) est une isométrie qui :
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Conserve les distances, l’alignement, le milieu, le parallélisme.
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Conserve les angles.
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Transforme une droite en une droite parallèle, un cercle en un cercle de même rayon.
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\(S_{\Omega}(\Omega)=\Omega\) : \(\Omega\) est l’unique point fixe.
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\(S_{\Omega}\circ S_{\Omega}=\mathrm{Id}\) (la symétrie centrale est involutive).
Exemple
Dans un repère, soient \(\Omega(2\,;-1)\) et \(M(5\,;3)\).
L’image \(M'=S_{\Omega}(M)\) vérifie \(\Omega\) milieu de \([MM']\), donc :
\[x_{M'}=2x_{\Omega}-x_{M}=4-5=-1,\qquad y_{M'}=2y_{\Omega}-y_{M}=-2-3=-5.\]
Donc \(M'(-1\,;-5)\).
La symétrie axiale
Définition
Soit \((\Delta)\) une droite du plan.
La symétrie axiale d’axe \((\Delta)\), notée \(S_{(\Delta)}\), est la transformation qui à tout point \(M\) du plan associe l’unique point \(M'\) tel que :
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Si \(M\in(\Delta)\) : \(M'=M\).
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Si \(M\notin(\Delta)\) : \((\Delta)\) est la médiatrice de \([MM']\).
Propriétés de la symétrie axiale. \(S_{(\Delta)}\) est une isométrie qui :
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Conserve les distances, l’alignement, le milieu, le parallélisme.
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Conserve les angles géométriques (mais inverse l’orientation des angles orientés).
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Transforme une droite en une droite, un cercle en un cercle de même rayon.
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Tous les points de \((\Delta)\) sont fixes.
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\(S_{(\Delta)}\circ S_{(\Delta)}=\mathrm{Id}\).
Exemple
Dans un repère orthonormé :
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Image de \(M(x\,;y)\) par la symétrie d’axe \((Ox)\) : \(M'(x\,;-y)\).
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Image de \(M(x\,;y)\) par la symétrie d’axe \((Oy)\) : \(M'(-x\,;y)\).
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Image de \(M(x\,;y)\) par la symétrie d’axe \(y=x\) : \(M'(y\,;x)\).
L’homothétie
Définition
Soient \(\Omega\) un point du plan et \(k\) un réel non nul.
L’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\), notée \(h(\Omega,k)\), est la transformation qui à tout point \(M\) du plan associe l’unique point \(M'\) tel que :
\[\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}.\]
Remarque
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Si \(k=1\) : \(h(\Omega,1)=\mathrm{Id}\).
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Si \(k=-1\) : \(h(\Omega,-1)=S_{\Omega}\) (symétrie centrale de centre \(\Omega\)).
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Si \(k>0\) : \(M'\) est du même côté que \(M\) par rapport à \(\Omega\).
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Si \(k<0\) : \(M'\) est de l’autre côté.
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\(\Omega\) est l’unique point fixe (si \(k\neq 1\)).
Propriétés de l’homothétie \(h(\Omega,k)\) (avec \(k\neq 0\), \(k\neq 1\), \(k\neq -1\)) :
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Multiplie les distances par \(|k|\) : \(A'B'=|k|\cdot AB\).
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Multiplie les aires par \(k^{2}\).
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Conserve l’alignement, le milieu, le parallélisme.
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Conserve les angles (géométriques et orientés).
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Transforme une droite en une droite parallèle, un cercle de rayon \(r\) en un cercle de rayon \(|k|r\).
Exemple
Soient \(\Omega(1\,;2)\), \(M(4\,;6)\) et \(k=2\).
\(\overrightarrow{\Omega M}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}=\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}\).
Donc \(M'=\Omega+\overrightarrow{\Omega M'}=(1+6\,;2+8)=(7\,;10)\).
Tableau récapitulatif
| Transformation | Distances | Aires | Angles | Points fixes |
|---|---|---|---|---|
| Translation \(t_{\overrightarrow{u}}\) (\(\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{0}\)) | conservées | conservées | conservés | aucun |
| Symétrie centrale \(S_{\Omega}\) | conservées | conservées | conservés | \(\Omega\) |
| Symétrie axiale \(S_{(\Delta)}\) | conservées | conservées | inversés | tous points de \((\Delta)\) |
| Homothétie \(h(\Omega,k)\) | \(\times |k|\) | \(\times k^{2}\) | conservés | \(\Omega\) |
Remarque
Les translations, symétries centrales et symétries axiales sont des isométries (elles conservent les distances).
Les homothéties (avec \(|k|\neq 1\)) sont des similitudes : elles changent les distances dans un rapport fixe.
Exercice n°1
Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([AC]\), \([AB]\).
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Quel est le centre et le rapport de l’homothétie qui transforme \(ABC\) en \(A'B'C'\) ?
(Indication : c’est l’homothétie de centre le centre de gravité \(G\).) -
Que valent les côtés de \(A'B'C'\) en fonction des côtés de \(ABC\) ?
Exercice n°2
Dans un repère orthonormé, on donne \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) et \(A(1\,;4)\), \(B(-2\,;0)\).
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Donner les coordonnées de \(A'=t_{\overrightarrow{u}}(A)\) et \(B'=t_{\overrightarrow{u}}(B)\).
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Vérifier que \(A'B'=AB\).
Exercice n°3
Soit \(h\) l’homothétie de centre \(\Omega(0\,;1)\) et de rapport \(k=-2\).
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Donner les coordonnées de \(A'=h(A)\) pour \(A(3\,;5)\).
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Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(I(2\,;3)\) et de rayon \(2\). Donner le centre et le rayon de \(h((\mathcal{C}))\).