11 fonctions

Les fonctions usuelles

Les fonctions de référence du programme, une par fiche : la courbe, le domaine de définition, la parité, les variations. Ce sont celles dont l'allure doit être connue de mémoire, parce que toute étude de fonction s'y ramène tôt ou tard.

Fonctions algébriques

Celles que l'on rencontre dès le Tronc Commun, et qui reviennent dans toutes les études de fonctions.

Tronc Commun

Fonction affine

\(f(x) = ax + b\)

Domaine: \(\mathbb{R}\)
Parité: Ni paire ni impaire, sauf si \(b = 0\) où elle est impaire
Variations: Croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\), constante si \(a = 0\)
Courbe: Une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\)

Le coefficient directeur \(a\) se lit comme un déplacement : quand \(x\) avance de \(1\), \(f(x)\) varie de \(a\).

Tronc Commun

Fonction carré

\(f(x) = x^2\)

Domaine: \(\mathbb{R}\)
Parité: Paire : \(f(-x) = f(x)\)
Variations: Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)
Courbe: Une parabole de sommet \(O\), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Le carré est toujours positif ou nul, ce qui sert dans presque toutes les comparaisons.

Tronc Commun

Fonction cube

\(f(x) = x^3\)

Domaine: \(\mathbb{R}\)
Parité: Impaire : \(f(-x) = -f(x)\)
Variations: Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
Courbe: Symétrique par rapport à l'origine \(O\)

La dérivée s'annule en \(0\) sans changer de signe : il n'y a donc pas d'extremum, seulement une tangente horizontale.

Tronc Commun

Fonction inverse

\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)

Domaine: \(\mathbb{R}^{*} = ]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\)
Parité: Impaire
Variations: Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\)
Courbe: Une hyperbole. Les deux axes sont asymptotes

Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles, jamais sur leur réunion. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Tronc Commun

Fonction racine carrée

\(f(x) = \sqrt{x}\)

Domaine: \([0\,;\,+\infty[\)
Parité: Aucune : le domaine n'est pas symétrique
Variations: Strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)
Courbe: Une demi parabole d'axe \((Ox)\), partant de l'origine

La fonction est définie en \(0\) mais n'y est pas dérivable : la tangente y est verticale.

Tronc Commun

Fonction valeur absolue

\(f(x) = |x|\)

Domaine: \(\mathbb{R}\)
Parité: Paire
Variations: Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)
Courbe: Deux demi droites formant un angle en \(O\)

Continue partout, mais pas dérivable en \(0\) : la courbe y présente un point anguleux.

Fonctions trigonométriques

Périodiques, bornées pour deux d'entre elles, définies à partir du cercle trigonométrique.

Tronc Commun 1ère Bac

Fonction sinus

\(f(x) = \sin x\)

Domaine: \(\mathbb{R}\)
Parité: Impaire : \(\sin(-x) = -\sin x\)
Périodicité: Périodique de période \(2\pi\)
Bornes: \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\)

Il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur \(2\pi\), puis de recopier le motif.

Tronc Commun 1ère Bac

Fonction cosinus

\(f(x) = \cos x\)

Domaine: \(\mathbb{R}\)
Parité: Paire : \(\cos(-x) = \cos x\)
Périodicité: Périodique de période \(2\pi\)
Bornes: \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\)

La courbe du cosinus est celle du sinus décalée de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche.

1ère Bac

Fonction tangente

\(f(x) = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)

Domaine: \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}\)
Parité: Impaire
Périodicité: Périodique de période \(\pi\), et non \(2\pi\)
Courbe: Asymptotes verticales en \(\dfrac{\pi}{2} + k\pi\)

Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente n'est pas bornée : elle prend toutes les valeurs réelles.

Exponentielle et logarithme

Le couple de la 2ème Bac : chacune est la réciproque de l'autre.

2ème Bac

Fonction exponentielle

\(f(x) = e^{x}\)

Domaine: \(\mathbb{R}\)
Signe: \(e^x > 0\) pour tout réel \(x\)
Variations: Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
Limites: \(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)

C'est la seule fonction égale à sa propre dérivée et valant \(1\) en \(0\).

2ème Bac

Fonction logarithme népérien

\(f(x) = \ln x\)

Domaine: \(]0\,;\,+\infty[\)
Dérivée: \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\)
Variations: Strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\)
Limites: \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\)

Sa courbe est le symétrique de celle de l'exponentielle par rapport à la droite \(y = x\).

Outil

Tracer une autre fonction

Le traceur accepte n'importe quelle expression, et sait en donner la dérivée et le symétrique par rapport à la première bissectrice.