Cours 1ère Bac SM

Barycentre SM

8 min de lecture · Le barycentre dans le plan

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Table des matières

Barycentre de deux points pondérés
Coordonnées du barycentre
1. Expression dans un repère
2. Réduction d’une expression vectorielle
Barycentre de plusieurs points pondérés
Applications
Synthèse
1. Récapitulatif
2. Pièges classiques

Le barycentre dans le plan
1^ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques

Barycentre de deux points pondérés

Point pondéré

Définition

Un point pondéré est un couple $(A, \alpha)$ où $A$ est un point du plan et $\alpha \in \mathbb{R}$ est un nombre réel appelé coefficient (ou poids, ou masse).

Définition du barycentre

Théorème

Soient $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ deux points pondérés du plan. Si $\alpha + \beta \neq 0$, il existe un unique point $G$ du plan vérifiant :
\[\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}.\]
Ce point $G$ s’appelle le barycentre des points pondérés $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$. On note :
\[G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\}.\]

Démonstration

Existence et unicité. Soit $O$ un point quelconque du plan. La relation $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}$ équivaut à :
\[\alpha (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OG}) + \beta (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OG}) = \vec{0} \;\Leftrightarrow\; (\alpha + \beta) \overrightarrow{OG} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}.\]
Comme $\alpha + \beta \neq 0$, cela définit $\overrightarrow{OG}$ de façon unique :
\[\overrightarrow{OG} = \frac{\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}}{\alpha + \beta}. \tag{$\star$}\]
Le point $G$ existe et est unique. $\square$

Position du barycentre

Proposition

Soient $A \neq B$ et $G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$.

$\bullet$$G$ appartient à la droite $(AB)$.

$\bullet$$\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{AB}$.

$\bullet$Si $\alpha \beta > 0$ (mêmes signes), $G$ est sur le segment $[AB]$.

$\bullet$Si $\alpha \beta < 0$, $G$ est à l’extérieur de $[AB]$.

Démonstration

En appliquant $(\star)$ avec $O = A$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\alpha \overrightarrow{AA} + \beta \overrightarrow{AB}}{\alpha + \beta} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{AB}$. Donc $G \in (AB)$.

Le coefficient $\lambda = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}$ détermine la position de $G$ :
$\lambda \in [0, 1] \iff G \in [AB]$, ce qui équivaut à $\alpha\beta \geq 0$ et $\alpha + \beta$ de même signe que $\beta$. $\square$

Cas particulier : isobarycentre

Définition

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ est le barycentre des points pondérés $(A, 1)$ et $(B, 1)$. On l’appelle aussi l’isobarycentre de $A$ et $B$ :
\[I = \mathrm{bar}\{(A, 1) ; (B, 1)\} \quad \text{vérifie} \quad \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}.\]

Homogénéité

Proposition

(Homogénéité du barycentre) Soit $G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$. Pour tout $k \neq 0$ :
\[G = \mathrm{bar}\{(A, k\alpha) ; (B, k\beta)\}.\]

Démonstration

$k \alpha \overrightarrow{GA} + k \beta \overrightarrow{GB} = k (\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}) = k \cdot \vec{0} = \vec{0}$. $\square$

Remarque

Grâce à l’homogénéité, on peut toujours normaliser les coefficients pour que $\alpha + \beta = 1$ (en divisant par $\alpha + \beta$). On parle alors de barycentre normalisé.

Coordonnées du barycentre

Expression dans un repère

Théorème

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ du plan, soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$. Le barycentre $G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$ a pour coordonnées :
\[x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta} \quad ; \quad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}.\]

Démonstration

Direct par projection sur les axes de la relation vectorielle $\overrightarrow{OG} = \dfrac{\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}}{\alpha + \beta}$. $\square$

Exemple

Soient $A(1, -2)$, $B(5, 6)$ et $G = \mathrm{bar}\{(A, 3); (B, 1)\}$.
\[x_G = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2 \quad ; \quad y_G = \frac{3 \cdot (-2) + 1 \cdot 6}{4} = \frac{0}{4} = 0.\]
Donc $G(2, 0)$.

Réduction d’une expression vectorielle

Théorème

(Théorème fondamental de réduction) Soit $G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$. Pour tout point $M$ du plan :
\[\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} = (\alpha + \beta) \overrightarrow{MG}.\]

Démonstration

$\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} = \alpha (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + \beta (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) = (\alpha + \beta) \overrightarrow{MG} + (\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}) = (\alpha + \beta) \overrightarrow{MG}$, puisque $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}$ par définition de $G$. $\square$

Méthode

Réduction d’une expression $\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}$ :

Calculer $\alpha + \beta$.
Si $\alpha + \beta \neq 0$ : poser $G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$, alors $\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} = (\alpha + \beta) \overrightarrow{MG}$.
Si $\alpha + \beta = 0$ : le résultat est un vecteur constant $\alpha \overrightarrow{BA}$.

Barycentre de plusieurs points pondérés

Barycentre de trois points

Théorème

Soient $(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)$ trois points pondérés du plan. Si $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$, il existe un unique point $G$ tel que :
\[\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \vec{0}.\]
$G$ est appelé le barycentre de $(A, \alpha)$, $(B, \beta)$, $(C, \gamma)$ : $G = \mathrm{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta);(C,\gamma)\}$.

Démonstration

Identique au cas de deux points. Pour tout point $O$ :
\[\overrightarrow{OG} = \frac{\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC}}{\alpha + \beta + \gamma}.\]
$\square$

Centre de gravité d’un triangle

Définition

Le centre de gravité $G$ d’un triangle $ABC$ est l’isobarycentre des trois sommets :
\[G = \mathrm{bar}\{(A, 1); (B, 1); (C, 1)\}, \quad \text{i.e.} \quad \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.\]

Proposition

Le centre de gravité $G$ d’un triangle $ABC$ est le point de concours des trois médianes, et il est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de chaque médiane à partir du sommet.

Associativité du barycentre

Théorème

(Associativité) Soit $G = \mathrm{bar}\{(A_1, \alpha_1); \ldots ; (A_n, \alpha_n)\}$ avec $\sum \alpha_i \neq 0$.

Si $\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k \neq 0$ pour un certain $1 \leq k < n$, alors en notant $G_k = \mathrm{bar}\{(A_1, \alpha_1); \ldots ; (A_k, \alpha_k)\}$ et $S_k = \alpha_1 + \cdots + \alpha_k$, on a :
\[G = \mathrm{bar}\{(G_k, S_k); (A_{k+1}, \alpha_{k+1}); \ldots ; (A_n, \alpha_n)\}.\]

Remarque

En pratique pour 3 points : si $G' = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ et $G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)\}$, alors $G = \mathrm{bar}\{(G', \alpha+\beta); (C, \gamma)\}$.

Cela permet de construire un barycentre de trois points en deux étapes.

Exemple

Construire le point $G = \mathrm{bar}\{(A, 1); (B, 2); (C, 3)\}$.

Applications

Alignement de trois points

Méthode

Pour démontrer l’alignement de trois points $A, B, C$, on peut montrer que l’un d’eux est barycentre des deux autres avec certains poids.

Exemple

Soient $ABC$ un triangle, $J$ le milieu de $[AB]$ et $K$ le milieu de $[AC]$. Montrer que $J$, $K$ et le milieu $I$ de $[BC]$ vérifient $\overrightarrow{JK} \parallel \overrightarrow{BC}$, et que $(JK)$ et $(BC)$ sont parallèles (théorème de la droite des milieux par barycentres).

Lieu géométrique

Méthode

Pour déterminer un lieu géométrique défini par une relation vectorielle, on réduit cette relation en faisant apparaître un barycentre. Le lieu se présente alors souvent comme un cercle ou une droite.

Exemple

Soient $A$, $B$ deux points fixes du plan. Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\|\overrightarrow{MA} + 3 \overrightarrow{MB}\| = 5$.

Concourance des droites

Méthode

Pour démontrer que trois droites sont concourantes, on peut souvent montrer qu’elles passent toutes par un même barycentre.

Exemple classique : dans un triangle, les médianes concourent au centre de gravité (isobarycentre des sommets) ; les bissectrices concourent au centre du cercle inscrit (barycentre des sommets pondérés par les côtés opposés).

Synthèse

Récapitulatif

Notion	Relation caractéristique
$G = \mathrm{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta)\}$ ($\alpha + \beta \neq 0$)	$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}$
Coordonnées de $G$	$\vec{OG} = \dfrac{\alpha \vec{OA} + \beta \vec{OB}}{\alpha + \beta}$
Réduction	$\alpha \vec{MA} + \beta \vec{MB} = (\alpha + \beta) \vec{MG}$
Cas $\alpha + \beta = 0$	$\alpha \vec{MA} + \beta \vec{MB} = \alpha \vec{BA}$ (vecteur constant)
Homogénéité	$G = \mathrm{bar}\{(A, k\alpha); (B, k\beta)\}$ pour $k \neq 0$
Associativité (3 points)	$G = \mathrm{bar}\{(G_2, \alpha+\beta); (C, \gamma)\}$ avec $G_2 = \mathrm{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta)\}$

Pièges classiques

Remarque

Oublier la condition $\alpha + \beta \neq 0$. Si la somme des poids est nulle, le barycentre n’existe pas (la relation donne un vecteur fixe).
Confondre les vecteurs. La relation est $\vec{GA}$ et non $\vec{AG}$ ; attention au signe.
Mauvaise normalisation. Lors de l’homogénéité, multiplier tous les coefficients (pas seulement certains).
Associativité incomplète. La somme partielle $\alpha_1 + \cdots + \alpha_k$ doit être non nulle pour pouvoir appliquer l’associativité.

Fin du chapitre 5 – Le barycentre dans le plan

Arithmétique SM

Série d’exercices

Notion	Relation caractéristique
\(G = \mathrm{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta)\}\) (\(\alpha + \beta \neq 0\))	\(\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}\)
Coordonnées de \(G\)	\(\vec{OG} = \dfrac{\alpha \vec{OA} + \beta \vec{OB}}{\alpha + \beta}\)
Réduction	\(\alpha \vec{MA} + \beta \vec{MB} = (\alpha + \beta) \vec{MG}\)
Cas \(\alpha + \beta = 0\)	\(\alpha \vec{MA} + \beta \vec{MB} = \alpha \vec{BA}\) (vecteur constant)
Homogénéité	\(G = \mathrm{bar}\{(A, k\alpha); (B, k\beta)\}\) pour \(k \neq 0\)
Associativité (3 points)	\(G = \mathrm{bar}\{(G_2, \alpha+\beta); (C, \gamma)\}\) avec \(G_2 = \mathrm{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta)\}\)