Série d’exercices

Dans un repère orthonormé, on considère \(A(2, -1)\), \(B(-4, 5)\), \(C(1, 3)\).

1. Calculer les coordonnées du barycentre \(G_1 = \mathrm{bar}\{(A, 2); (B, 1)\}\).

2. Calculer les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\).

3. Calculer \(G_2 = \mathrm{bar}\{(A, 3); (B, -1); (C, 2)\}\).

4. Calculer \(G_3 = \mathrm{bar}\{(A, 1); (B, -1); (C, 4)\}\).

1. Montrer que \(\mathrm{bar}\{(A, 2); (B, 4)\} = \mathrm{bar}\{(A, 1); (B, 2)\}\).

2. Soit \(G = \mathrm{bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}\) avec \(\alpha + \beta \neq 0\). Trouver une condition sur \(\alpha, \beta\) pour que \(G\) soit le milieu de \([AB]\).

3. Soit \(G = \mathrm{bar}\{(A, 3); (B, -1)\}\). Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\). \(G\) est-il sur le segment \([AB]\) ?

Soient \(A\) et \(B\) deux points fixes, \(M\) un point variable. Réduire les expressions suivantes (faire apparaître un barycentre si possible).

1. \(2 \overrightarrow{MA} + 3 \overrightarrow{MB}\).

2. \(4 \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\).

3. \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\).

4. \(5 \overrightarrow{MA} + 5 \overrightarrow{MB} - 10 \overrightarrow{MO}\) où \(O\) est un point fixe.

Soient \(A\), \(B\) deux points fixes du plan tels que \(AB = 6\). Déterminer le lieu des points \(M\) vérifiant :

1. \(\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = 4\).

2. \(\|2 \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = 9\).

3. \(\|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\| = 7\).

4. \(\overrightarrow{MA} + 3 \overrightarrow{MB} = \vec{0}\).

Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs des segments \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\).

1. Exprimer \(A'\), \(B'\), \(C'\) comme barycentres.

2. Montrer que le centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\) est aussi le centre de gravité du triangle \(A'B'C'\).

Soit \(ABC\) un triangle, \(G\) son centre de gravité, \(A'\) le milieu de \([BC]\).

1. En utilisant l’associativité du barycentre, montrer que \(G = \mathrm{bar}\{(A, 1); (A', 2)\}\).

2. En déduire que \(G\) est sur la médiane \((AA')\) avec \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AA'}\).

3. En déduire la concourance des médianes.

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points fixes non alignés.

1. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{MB}\| = \|3 \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}\|\). (Indication : introduire deux barycentres.)

2. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) (où \(\cdot\) désigne le produit scalaire). Reconnaître un cercle célèbre.

3. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = 6\).

Soit \(ABC\) un triangle de côtés \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\). On admet (et on prouvera) que le centre du cercle inscrit \(I\) est le barycentre :
\[I = \mathrm{bar}\{(A, a); (B, b); (C, c)\}.\]

1. Vérifier la condition d’existence.

2. Dans un repère orthonormé avec \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(3, 4)\), calculer \(a\), \(b\), \(c\) puis les coordonnées de \(I\).

Soit \(ABCD\) un quadrilatère. On note \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).

1. Soit \(G\) le centre de gravité (isobarycentre) du quadrilatère \(ABCD\) : \(G = \mathrm{bar}\{(A,1);(B,1);(C,1);(D,1)\}\). Justifier l’existence.

2. Montrer que \(G\) est aussi le milieu commun de \([IK]\) et de \([JL]\).

3. En déduire que \(IJKL\) est un parallélogramme (Varignon).

Soit \(ABC\) un triangle et \(G_1 = \mathrm{bar}\{(A, 1); (B, 2); (C, 3)\}\).

1. Construire \(G_1\) en deux étapes (associativité).

2. Exprimer \(G_1\) dans un repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).

3. Soit \(M\) un point variable. Montrer que \(\overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{MB} + 3 \overrightarrow{MC} = 6 \overrightarrow{MG_1}\).