Calcul trigonométrique SM
Table des matières
Trigonométrie
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Rappels et cercle trigonométrique
Mesure d’un angle
Définition
Le radian (rad) est l’unité d’angle telle que \(180° = \pi\) rad. Conversion :
\[\alpha\, (\text{deg}) \;\to\; \alpha \cdot \frac{\pi}{180}\, (\text{rad}) \quad ; \quad \alpha\, (\text{rad}) \;\to\; \alpha \cdot \frac{180}{\pi}\, (\text{deg}).\]
Exemple
\(30° = \dfrac{\pi}{6}\) rad ; \(45° = \dfrac{\pi}{4}\) ; \(60° = \dfrac{\pi}{3}\) ; \(90° = \dfrac{\pi}{2}\).
Cercle trigonométrique et angles orientés
Définition
Le cercle trigonométrique \(\mathcal{C}\) est le cercle de centre \(O\) et rayon \(1\) dans un repère orthonormé direct.
Tout réel \(x \in \mathbb{R}\) est associé à un unique point \(M\) de \(\mathcal{C}\) : \(M\) est le point tel que la mesure (en radian, comptée dans le sens trigonométrique) de l’arc \(\overset{\frown}{AM}\) (avec \(A(1, 0)\)) vaut \(x \bmod 2\pi\). On dit que \(M\) est l’image de \(x\) sur \(\mathcal{C}\).
Définitions de \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\)
Définition
Si \(M\) est l’image de \(x\) sur le cercle trigonométrique, ses coordonnées sont \(M(\cos x, \sin x)\).
La tangente de \(x\) est définie pour \(\cos x \neq 0\) par :
\[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.\]
La cotangente est \(\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}\) (pour \(\sin x \neq 0\)).
Propriétés fondamentales
Proposition
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \quad ; \quad -1 \leq \cos x \leq 1 \quad ; \quad -1 \leq \sin x \leq 1.\]
\[\cos(x + 2\pi) = \cos x \quad ; \quad \sin(x + 2\pi) = \sin x \quad ; \quad \tan(x + \pi) = \tan x \,(\text{si défini}).\]
\[\cos(-x) = \cos x \quad ; \quad \sin(-x) = -\sin x \quad ; \quad \tan(-x) = -\tan x.\]
Valeurs remarquables
| \(x\) | \(0\) | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\tan x\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | non définie |
Angles associés
Proposition
(Symétries du cercle) Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[\cos(\pi - x) = -\cos x \;\; ; \;\; \sin(\pi - x) = \sin x\]
\[\cos(\pi + x) = -\cos x \;\; ; \;\; \sin(\pi + x) = -\sin x\]
\[\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \;\; ; \;\; \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\]
\[\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \;\; ; \;\; \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\]
Formules d’addition et de duplication
Formules d’addition
Théorème
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) :
\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]
\[\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\]
\[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]
\[\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\]
Proposition
Pour les tangentes (quand toutes les expressions sont définies) :
\[\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \quad ; \quad \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}.\]
Exemple
Calculer \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\).
Formules de duplication (angle double)
Théorème
Pour tout \(a \in \mathbb{R}\) :
\[\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2 \cos^2 a - 1 = 1 - 2 \sin^2 a\]
\[\sin(2a) = 2 \sin a \cos a\]
\[\tan(2a) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} \quad (\text{si défini})\]
Démonstration
On applique les formules d’addition avec \(b = a\) : par exemple \(\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos^2 a - \sin^2 a\). Les deux autres formes viennent de \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\). \(\square\)
Formules de linéarisation
Proposition
Pour tout \(a \in \mathbb{R}\) :
\[\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \quad ; \quad \sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2} \quad ; \quad \sin a \cos a = \frac{\sin(2a)}{2}.\]
Formules de transformation produit \(\leftrightarrow\) somme
Proposition
(Produit en somme)
\[\cos p \cos q = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(p - q) + \cos(p + q)\bigr]\]
\[\sin p \sin q = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(p - q) - \cos(p + q)\bigr]\]
\[\sin p \cos q = \tfrac{1}{2}\bigl[\sin(p + q) + \sin(p - q)\bigr]\]
(Somme en produit) On pose \(p = \tfrac{a+b}{2}\), \(q = \tfrac{a-b}{2}\) :
\[\cos a + \cos b = 2 \cos\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right) \cos\!\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\]
\[\cos a - \cos b = -2 \sin\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right) \sin\!\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\]
\[\sin a + \sin b = 2 \sin\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right) \cos\!\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\]
\[\sin a - \sin b = 2 \cos\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right) \sin\!\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\]
Équations trigonométriques
Équations de base
Théorème
Soient \(\alpha, x \in \mathbb{R}\).
\(\bullet\)\(\cos x = \cos \alpha \;\;\Leftrightarrow\;\; x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = -\alpha + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\bullet\)\(\sin x = \sin \alpha \;\;\Leftrightarrow\;\; x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\bullet\)\(\tan x = \tan \alpha \;\;\Leftrightarrow\;\; x = \alpha + k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x = \dfrac{1}{2}\).
Exemple
Résoudre dans \([0, 2\pi[\) : \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Équations \(a \cos x + b \sin x = c\)
Méthode
Pour résoudre \(a \cos x + b \sin x = c\) (avec \(a, b\) non tous deux nuls) :
-
Calculer \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) et chercher \(\varphi\) tel que \(\cos \varphi = \dfrac{a}{R}\), \(\sin \varphi = \dfrac{b}{R}\).
-
Réécrire : \(a \cos x + b \sin x = R \cos(x - \varphi)\).
-
Résoudre \(\cos(x - \varphi) = \dfrac{c}{R}\).
Condition de solution : \(|c| \leq R\).
Exemple
Résoudre \(\cos x + \sqrt{3} \sin x = 1\).
Équations se ramenant au second degré
Méthode
Pour des équations comme \(2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0\), poser \(u = \cos x\) (avec \(u \in [-1, 1]\)), résoudre l’équation du second degré en \(u\), puis revenir à \(x\).
Exemple
Résoudre \(2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0\).
Inéquations trigonométriques
Méthode du cercle
Méthode
Pour résoudre une inéquation trigonométrique comme \(\cos x \leq k\), \(\sin x \geq k\), etc., on procède graphiquement sur le cercle trigonométrique :
-
Tracer le cercle trigonométrique.
-
Tracer la droite \(y = k\) (pour \(\sin\)) ou \(x = k\) (pour \(\cos\)).
-
Identifier l’arc du cercle correspondant à la condition.
-
Lire les bornes de l’arc en termes d’angle.
Exemple
Résoudre dans \([0, 2\pi[\) : \(\cos x \leq \dfrac{1}{2}\).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin x > \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Synthèse
Formules essentielles
| Identité | Formule |
|---|---|
| Pythagore | \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\) |
| Addition cos | \(\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b\) |
| Addition sin | \(\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b\) |
| Duplication | \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a\) ; \(\sin(2a) = 2 \sin a \cos a\) |
| Linéarisation | \(\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\) ; \(\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}\) |
| Produit-somme cos | \(\cos a + \cos b = 2 \cos\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}\) |
| Produit-somme sin | \(\sin a + \sin b = 2 \sin\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}\) |
Équations de base
| Équation | Solutions (\(k \in \mathbb{Z}\)) |
|---|---|
| \(\cos x = \cos \alpha\) | \(x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = -\alpha + 2k\pi\) |
| \(\sin x = \sin \alpha\) | \(x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\) |
| \(\tan x = \tan \alpha\) | \(x = \alpha + k\pi\) |
| \(\cos x = 0\) | \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) |
| \(\sin x = 0\) | \(x = k\pi\) |
| \(\cos x = 1\) | \(x = 2k\pi\) |
| \(\cos x = -1\) | \(x = \pi + 2k\pi\) |
Pièges classiques
Remarque
-
Oublier \(k\pi\) ou \(2k\pi\). Les équations trigonométriques ont une infinité de solutions.
-
Confondre \(\sin(-x)\) et \(\cos(-x)\). \(\sin\) est impair (\(\sin(-x) = -\sin x\)), \(\cos\) est pair (\(\cos(-x) = \cos x\)).
-
Condition \(|c| \leq R\) pour \(a \cos x + b \sin x = c\). Sinon, pas de solution.
-
Oublier de vérifier \(u \in [-1, 1]\). Quand on pose \(u = \cos x\) ou \(u = \sin x\) dans une équation polynomiale.
-
Confondre solutions dans \([0, 2\pi[\) et dans \(\mathbb{R}\). Bien préciser l’ensemble de résolution.
Fin du chapitre 7 – Trigonométrie